感度の計算

入力uに対する出力y(u)の感度は、uの単位変化に起因するyの変化として定義されます。

動作点 ( y 0 , u 0 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPj MCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWq VvNCPvMCG4uz3bqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC 0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yq aqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaiGadmWaamaaci GaaqqaceqbcaGcbaGaaiikaiaadMhadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGc caGGSaGaamyDamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiaacMcaaaa@42DF@ を中心として、テーラー級数を次のように記述できます。(1)
y = y 0 + ( y u ) ( u u 0 )   +   O ( b ) = y 0 + ( y u ) Δ u   +   O ( b ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbd9MBZ9 gBHnharuavP1wzZbItLDhis9wBH5garmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMC G4uz3bqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4 rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9 pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaciGadmWaamaaciGaaqqace qbcaGcbaGaamyEaiabg2da9iaadMhadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGc cqGHRaWkdaqadaqaamaalaaabaGaeyOaIyRaamyEaaqaaiabgkGi2k aadwhaaaaacaGLOaGaayzkaaWaaeWaaeaacaWG1bGaeyOeI0IaamyD amaaBaaaleaacaaIWaaabeaaaOGaayjkaiaawMcaaiaabccaqqqFc0 Na9jqBHDMBLnxA11gapeGaey4kaSIaaeiiaiaad+eacaGGOaGaamOy aiaacMcapaGaeyypa0JaamyEamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiabgU caRmaabmaabaWaaSaaaeaacqGHciITcaWG5baabaGaeyOaIyRaamyD aaaaaiaawIcacaGLPaaacqqHuoarcaWG1bGaaeiiaabb8jaFcWNaTf 2zUv2CPvxBa8GacqGHRaWkcaqGGaGaam4taiaacIcacaWGIbGaaiyk aaaa@6D86@

数量 ( y u ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbd9MBZ9 gBHnharuavP1wzZbItLDhis9wBH5garmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMC G4uz3bqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4 rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9 pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaciGadmWaamaaciGaaqqace qbcaGcbaWaaeWaaeaadaWcaaqaaiabgkGi2kaadMhaaeaacqGHciIT caWG1baaaaGaayjkaiaawMcaaaaa@4172@ を、入力uに対する数量yの1次感度と呼びます。

感度解析は、数学的なモデル(システム(y))の出力の変化や不確定性を、その入力(u)の変化や不確定性のさまざまな発生源にどのように帰結できるかについての研究です。

設計感度解析では、数量(u)は設計bです。ここで明らかにしようとしているのは、設計bの特定の変化に応じて、応答yがどのように変化するのかということです。

マルチボディシミュレーションでは、応答 y MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbd9MBZ9 gBHnharuavP1wzZbItLDhis9wBH5garmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMC G4uz3bqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4 rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9 pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaciGadmWaamaaciGaaqqace qbcaGcbaGaamyEaaaa@3C13@ は、一般に、指定された設計b に関するシステム状態 x MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbd9MBZ9 gBHnharuavP1wzZbItLDhis9wBH5garmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMC G4uz3bqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4 rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9 pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaciGadmWaamaaciGaaqqace qbcaGcbaGaamiEaaaa@3C12@ および x ˙ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbd9MBZ9 gBHnharuavP1wzZbItLDhis9wBH5garmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMC G4uz3bqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4 rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9 pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaciGadmWaamaaciGaaqqace qbcaGcbaGabmiEayaacaaaaa@3C1B@ の関数です。システム状態 x MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbd9MBZ9 gBHnharuavP1wzZbItLDhis9wBH5garmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMC G4uz3bqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4 rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9 pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaciGadmWaamaaciGaaqqace qbcaGcbaGaamiEaaaa@3C12@ の構成要素は、(a)変位、(b)速度、(c)Lagrange乗数(または拘束反力)、(d)ユーザー定義の微分方程式、(e)変数とLSE/GSE/TFSISOの出力から得られるユーザー定義の代数方程式、および(f)計算を簡素化する内部で作成された中間状態です。

数学的には次のとおりです:(2)
y = y ( x , x ˙ , b ) Δ y Δ b = ( y x ) x b + ( y x ˙ ) x ˙ b + y b  + higher order terms MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbd9MBZ9 gBHnharuavP1wzZbItLDhis9wBH5garmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMC G4uz3bqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4 rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9 pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaciGadmWaamaaciGaaqqace qbcaGceaqabeaacaWG5bGaeyypa0JaamyEamaabmaabaGaamiEaiaa cYcaceWG4bGbaiaacaGGSaGaamOyaaGaayjkaiaawMcaaaqaaiabgs JiCnaalaaabaGaeuiLdqKaamyEaaqaaiabfs5aejaadkgaaaGaeyyp a0ZaaeWaaeaadaWcaaqaaiabgkGi2kaadMhaaeaacqGHciITcaWG4b aaaaGaayjkaiaawMcaamaalaaabaGaeyOaIyRaamiEaaqaaiabgkGi 2kaadkgaaaGaey4kaSYaaeWaaeaadaWcaaqaaiabgkGi2kaadMhaae aacqGHciITceWG4bGbaiaaaaaacaGLOaGaayzkaaWaaSaaaeaacqGH ciITceWG4bGbaiaaaeaacqGHciITcaWGIbaaaiabgUcaRmaalaaaba GaeyOaIyRaamyEaaqaaiabgkGi2kaadkgaaaGaaeiiaabb8jaFcWNa Tf2zUv2CPvxBa8qacaqGRaGaaeiiaiaabIgacaqGPbGaae4zaiaabI gacaqGLbGaaeOCaiaabccacaqGVbGaaeOCaiaabsgacaqGLbGaaeOC aiaabccacaqG0bGaaeyzaiaabkhacaqGTbGaae4Caaaaaa@7F59@

運動方程式によって、(xb)と( x ˙ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbd9MBZ9 gBHnharuavP1wzZbItLDhis9wBH5garmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMC G4uz3bqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4 rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9 pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaciGadmWaamaaciGaaqqace qbcaGcbaGabmiEayaacaaaaa@3C1B@ と(xb))の間の暗黙的な関係が得られます。数量 x b x ˙ b  and  y b MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbd9MBZ9 gBHnharuavP1wzZbItLDhis9wBH5garmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMC G4uz3bqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4 rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9 pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaciGadmWaamaaciGaaqqace qbcaGcbaWaaSaaaeaacqGHciITcaWG4baabaGaeyOaIyRaamOyaaaa caqGSaGaaeiiamaalaaabaGaeyOaIyRabmiEayaacaaabaGaeyOaIy RaamOyaaaacaqGGaGaaeyyaiaab6gacaqGKbGaaeiiamaalaaabaGa eyOaIyRaamyEaaqaaiabgkGi2kaadkgaaaaaaa@4EB3@ が最初に計算される必要があります。これらが求まると、設計感度 Δ y Δ b MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbd9MBZ9 gBHnharuavP1wzZbItLDhis9wBH5garmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMC G4uz3bqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4 rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9 pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaciGadmWaamaaciGaaqqace qbcaGcbaWaaSaaaeaacqqHuoarcaWG5baabaGaeuiLdqKaamOyaaaa aaa@3FD6@ を計算できます。

Δ y Δ b MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbd9MBZ9 gBHnharuavP1wzZbItLDhis9wBH5garmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMC G4uz3bqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4 rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9 pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaciGadmWaamaaciGaaqqace qbcaGcbaWaaSaaaeaacqqHuoarcaWG5baabaGaeuiLdqKaamOyaaaa aaa@3FD6@ の計算は、MotionSolveでは設計感度解析(DSA: Design Sensitivity Analysis)と呼ばれます。これはMotionSolveによる新しい解析手法です。この解析には、静解析、準静解析、運動学解析、動解析などの通常の解析が必ず伴います。

通常の解析の役割は、特定の設計bについて状態x、zと出力yを計算することです。

これらが求まったら、DSA解析によって感度 Δ y Δ b MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbd9MBZ9 gBHnharuavP1wzZbItLDhis9wBH5garmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMC G4uz3bqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4 rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9 pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaciGadmWaamaaciGaaqqace qbcaGcbaWaaSaaaeaacqqHuoarcaWG5baabaGaeuiLdqKaamOyaaaa aaa@3FD6@ が計算されます。Ny個の応答とNb個の設計変数が存在する場合、 [ Δ y Δ b ] MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbd9MBZ9 gBHnharuavP1wzZbItLDhis9wBH5garmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMC G4uz3bqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4 rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9 pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaciGadmWaamaaciGaaqqace qbcaGcbaWaamWaaeaadaWcaaqaaiabfs5aejaadMhaaeaacqqHuoar caWGIbaaaaGaay5waiaaw2faaaaa@41C8@ Ny x Nb次元のマトリックスです。

設計感度を計算するためのよく知られた手法は、有限差分、直接微分、随伴手法の3つがあります。