多軸疲労解析

周期荷重を受ける構造の寿命（荷重サイクル数）を予測する多軸疲労解析が、S-N（応力-寿命）、E-N （ひずみ-寿命）、およびDang Van基準（安全係数）アプローチを用いてOptiStructで実行できます。

単軸疲労解析では、OptiStructはユーザー定義の組み合わされた応力の手法（フォンミーゼス、最大主応力など）を使って応力テンソルをスカラー値に変換します。多軸疲労解析では、OptiStructは応力テンソルを直接使って損傷を計算します。次のセクションで説明される多軸疲労解析理論は、応力が平面応力状態にあるという仮定に基づきます。すなわち、OptiStructでの多軸疲労解析では、構造の自由表面のみが着目されます。ソリッド要素については、シェルスキンが自動的にOptiStructによって生成され、シェル要素は内と同様に使用されます。多軸疲労解析の機能群は、FATPARMバルクデータエントリでMAXLFAT=YESを設定することによりアクティブになります。

応力-寿命法は、構造の応力レベルがほとんど弾性範囲に収まる際の疲労寿命予測に機能します。このような繰り返し荷重条件の下では、構造は一般的に多数の荷重サイクルに耐えることができ、これは高サイクル疲労として知られています。繰り返しによるひずみが塑性範囲まで延びた場合、構造の疲労耐久性は著しく低下し、これは低サイクル疲労として特性づけられます。高サイクルと低サイクル疲労の間の一般的に受け入れられている境界点はおよそ10,000荷重サイクルぐらいになります。低サイクル疲労では、ひずみ-寿命 (E-N) 法が適用され、塑性ひずみがダメージ計算の重要な因子として考慮されます。

疲労解析が実行されるモデルのセクションは、FATDEFバルクデータエントリで特定される必要があります。適当なFATDEFバルクデータエントリが疲労サブケース定義からFATDEFサブケース情報エントリを通して参照される必要があります。

コンポーネントが荷重履歴全体の中で破壊されるかどうかについては、Dang Van基準を使用して予測されます。この場合、破壊に至る最小限の疲労サイクルを指定する従来の疲労結果は適用できません。コンポーネントの疲労履歴全体で疲労損傷が発生するかどうかを考慮する必要があります。損傷が発生する場合、そのコンポーネントが無限寿命となることはできません。

単軸荷重

単軸荷重を有するモデルは１方向のみの荷重から成り、そのため、１つの主応力のみとなります。

図 1. 単軸荷重

比例二軸荷重

比例二軸荷重を有するモデルでは、主応力は比例的に変化しますが、１方向のみです。一般的に、応力成分の同相荷重は、比例二軸荷重として知られています。したがって、単一の静的サブケースが参照される疲労サブケースは常に比例二軸荷重です。

図 2. 比例二軸荷重

図 3. 同相荷重

非比例二軸荷重を有するモデルでは、主応力は非比例的に変化するか、方向が変わる、あるいはその両方となります。一般的に、応力成分の非同相荷重は、非比例多軸荷重として知られています。

非比例多軸荷重

図 4. 非比例多軸荷重

図 5. 非同相荷重

多軸疲労解析では、比例二軸荷重および非比例多軸荷重がOptiStructで考慮されます。

非比例周期荷重および非比例硬化

非比例周期荷重は通常、追加的なひずみ硬化を生成し、これは、比例荷重環境では見られることはありません。追加的なひずみ硬化は非比例硬化と呼ばれ、滑り面の交互作用によって生じます。主軸の回転の結果として（図 6）、スライドする複数の面はアクティブとなり、特定のポイントにおいて硬化が蓄積し、一方、滑り面の方向が変化します。

図 6. 非比例荷重による滑り面間の交互作用

多軸疲労解析で使用される塑性モデルは、適用される荷重が非比例であれば、非比例硬化を受けます。

臨界面アプローチ

臨界面として知られる特定の面上で亀裂が生じ成長することが、実験で示されています。臨界面アプローチは、損傷の物理的な性質をその損傷の評価プロセスで捕捉します。これは、臨界面の応力とひずみを扱います。

材料と応力の状態に応じて、臨界面は、最大せん断面または最大引張り応力面のいずれかとなります。したがって、多軸荷重から損傷を評価するには、２つの異なる損傷モデルが必要となります。１つはせん断による亀裂成長、もう１つは引張りによる亀裂成長です。

図 7. せん断および引張り応力による亀裂

図 8. 周期ねじり、せん断ひずみ、引張りひずみ、せん断および引張り損傷

臨界面アプローチでは、どの損傷モデルも使用することが可能です。損傷モデルは、最も損傷の激しい面の検索を要します。２つの可能な損傷（または破壊）モードがあります。１つは、引張り亀裂成長である自由表面に垂直な面上です。角度

θ

は、表面上で

σ_{x}

方向に対して亀裂が認められる角度です。２つ目の破壊システムは、面上で表面に対し45度向きに起こる、せん断亀裂成長です。せん断応力は、面内、面外のいずれもこの面上であるとみなされます。

θ

は表面上でいかなる値も取り得ます。せん断応力

τ_{A}

は面内せん断応力であり、微小亀裂の表面に沿った成長を引き起こします。最大面外せん断

τ_{B}

は自由表面から45度の向きの面上で生じ、表面に向かう微小亀裂を引き起こします。

図 9. 90度面での面内せん断応力と垂直応力；　45度面での面内および面外せん断応力

OptiStructは、 $θ$ の値10度毎に、最も損傷の大きい面を検索します。OptiStructは各面上で、引張り亀裂損傷モデルとせん断亀裂損傷モデルを使って損傷を評価します。検索の最後にOptiStructは、最も損傷の大きい面（臨界面）における損傷をレポートします。

応力-寿命（S-N）アプローチ

多軸疲労解析の応力-寿命アプローチは、単軸疲労解析のものと同様です。多軸疲労解析における応力-寿命アプローチの初歩的な情報については、単軸疲労解析のS-Nカーブおよびサイクルカウントの項をご参照ください。

平均応力補正

材料、応力の状態、環境およびひずみ振幅に応じて、疲労寿命は通常、せん断面または引張り面いずれかに沿った微小亀裂成長によって支配されます。臨界平均応力補正法には、両方のタイプの亀裂成長を支配する支配的パラメータを含んでいます。せん断支配か引張り支配かという異なる破壊モードにより、いかなる単一の平均応力補正法もすべての材料についてすべての寿命型において実験データと相関を期待することはできません。多軸疲労寿命の推定に使用するための最良な手法にコンセンサスは未だ見つかりません。複数の手法が利用可能で、OptiStruct多軸疲労解析で同時に使用することができます。応力に基づいた平均応力補正法としては、引っ張り亀裂にはGoodmanモデルが、せん断亀裂にはFindleyモデルが用いられます。平均応力補正法は、FATPARMバルクデータエントリのMCORRECTフィールドの後ろで定義することができます。複数のモデルが定義されている場合、OptiStructは入手可能なすべての損傷値から、最大の損傷を導くモデルを選択します。

Goodmanモデル

単軸疲労解析におけるGoodmanモデルは、臨界面で引張り亀裂成長によって生じる損傷を評価します。

Findleyモデル

Findleyの基準は、有限長寿命疲労にしばしば適用されます。(1)

\frac{Δ τ}{2} + k σ_{n} = τ_{f}^{*} {(N_{f})}^{b}

ここで、

τ_{f}^{*}

は、下記を用いてねじり疲労強度指数

τ_{f}^{'}

から計算されます：(2)

τ_{f}^{*} = \sqrt{1 + k^{2}} τ_{f}^{'}

補正係数

\sqrt{1 + k^{2}}

は通常、約1.04の値をとります。

τ_{f}^{*}

は振幅に基づいて定義される必要があります。

τ_{f}^{'}

がユーザーによって定義されていない場合、OptiStructは以下の式を使って自動的にこれを計算します。(3)

\begin{array}{l} τ_{f}^{'} = C f * 0.5 * S R I 1 \\ W h e r e, \\ C f = \frac{2}{1 + \frac{k}{\sqrt{1 + k^{2}}}} \end{array}

定数 $k$ は、２つ以上の応力状態を含んだ疲労試験を実行することによって実験的に決定されます。延性材料については通常、 $k$ は0.2から0.3の間で変化します。OptiStructでのデフォルト値は0.3です。

FKM

FKM平均応力補正は、単軸および多軸両方のS-N疲労に使用できます。詳細については、ユーザーズガイド.平均応力補正の単軸疲労解析、S-Nアプローチをご参照ください。

比例荷重ケースにFATPARMでCHKがYESに設定されている場合、上記の式は最大せん断応力面について計算されます。詳細については、比例二軸荷重をご参照ください。

図 10. 応力ベースの多軸疲労解析の解析フロー

ひずみ-寿命（E-N）アプローチ

付与される荷重が非比例多軸周期荷重である場合、OptiStructはJiang-Sehitoglu塑性モデルを使って全ひずみと弾塑性応力を計算します。

Jiang-Sehitogluモデルは、成功率の高い増分多軸周期塑性モデルの１つです¹ OptiStructでは、等方硬化パートがJiang-Sehitogluのオリジナルモデルから除かれます。これは、偏差応力空間で最も良く示されます。(4)

S_{i j} = σ_{i j} - α_{i j}

降伏関数

Misesの降伏関数

F

は次のように表現されます：(5)

F = (\tilde{S} - \tilde{α}) : (\tilde{S} - \tilde{α}) - 2 k^{2} = 0

表記 $\tilde{S}$ は偏差応力テンソルに使用されます。 $\tilde{a}$ は逆応力テンソル、 $k$ はシンプルなせん断の降伏応力です。

流動則

法線則は、次の式によって定義されます：(6)

d {\tilde{ε}}^{p} = H 〈 d \tilde{S} : \tilde{n} 〉 \tilde{n}

ここで、

{\tilde{ε}}^{p}

は、以下に定義するとおり、荷重ポイントにおける降伏曲面への外部単位法線です：(7)

\tilde{n} = \frac{\tilde{S} - \tilde{α}}{(\tilde{S} - \tilde{α}) : (\tilde{S} - \tilde{α})}

硬化則

全逆応力

\tilde{α}

は、

M

個のパートに分解されます。(8)

\tilde{α} = \sum_{i = 1}^{M} {\tilde{α}}^{i}

各パートについての逆応力の変化（降伏曲面の移動）は、次の式で定義されます：(9)

d {\tilde{α}}^{i} = c^{i} r^{i} (\tilde{n} - \frac{{| {\tilde{α}}^{i} |}^{X^{i + 1}}}{r^{i}} \tilde{L}) d p

ここで、

d p

は等価塑性ひずみ増分、

c^{i}

、

r^{i}

および

X^{i}

は、負ではない一値スカラー関数の３つのセットです：(10)

L^{i} = \frac{{\tilde{α}}^{i}}{| {\tilde{α}}^{i} |} (i = 1, 2, 3, ... M)

(11)

| {\tilde{α}}^{i} | = \sqrt{{\tilde{α}}^{i} : {\tilde{α}}^{i}} (i = 1, 2, 3, ... M)

(12)

d p = \sqrt{d ε^{p} : d ε^{p}}

材料メモリは、

a

項に含まれます。塑性係数

H

は整合性の条件に由来し、これは、塑性変形が起こる際に応力状態が降伏曲面上にあることを必要とします。(13)

H = \sum_{i = 1}^{M} c^{i} r^{i} [1 - \frac{{| {\tilde{α}}^{i} |}^{X^{i + 1}}}{r^{i}} {\tilde{L}}^{i} : \tilde{n}] + \sqrt{2} \frac{d k}{d p}

このモデルには、４つの材料パラメータ $c$ 、 $r$ 、 $X$ 、 $k$ があります。これらの定数はすべて、材料の周期応力ひずみ曲線（式 17）から計算されます。この曲線にはシンプルなべき関数がフィッティングされ、３つの材料プロパティである周期強度係数 $K'$ 、周期ひずみ硬化指数 $n'$ 、弾性係数 $E$ が得られます。

せん断降伏強度 $k$ は、塑性ひずみを0.0002（0.02%）に設定し、 $\sqrt{3}$ で割ることによって得られます。 $c$ と $r$ はいずれも、一連の材料の周期応力ひずみ曲線を選択し、曲線の形状を描写することにより得られます。Ratcheting率は $X$ によってコントロールされ、これは、固定値5でセットされます。コンポーネント数（ $M$ ）は10にセットされます。

非比例硬化

非比例硬化は、主ひずみ軸が周期荷重の間に回転する荷重パスを表すために使用される語です。最もシンプルな例は、引張りおよびねじり荷重の周期が変化するバーです。引張り周期とねじり周期の間で、主軸は45度回転します。フェーズ外荷重は非比例荷重の特別なケースで、正弦波または三角波と荷重間のフェーズの差異を含む周期荷重履歴を示すために使用されます。この主の荷重タイプの間、材料は、単軸またはあらゆる比例荷重パスでは見られない追加の周期硬化を示します。

90度のフェーズ外荷重パスは、最も角度の大きい非比例硬化を生み出すことが解っています。この荷重パスについて認められる追加の硬化の大きさは、単軸または比例荷重パスで認められるそれよりも微細構造に大きく依存し、滑りシステムは材料内で用意に進展します。非比例硬化係数

a

は、90度フェーズ外荷重下の等価応力 / 応力ひずみ曲線の平坦な部分での高塑性ひずみにおける比例荷重下の等価応力の比として定義されます。この光波、所与の材料で起こり得る追加の効果の最大角度を反映します。OptiStructは、ひずみ振幅0.003における非比例硬化係数

a

を、下記の式を用いて測ります：(14)

α = \frac{K^{'} 90 \times {0.003}^{n^{'} 90}}{K^{'} \times {0.003}^{n^{'}}}

ここで、(15)

K^{'} 90 = K^{'} * c o e f k p 90

(16)

n^{'} 90 = n^{'} * c o e f n p 90

ユーザーは、coefkp90とcoefnp90を入力する必要があります。coefkp90のデフォルトの値は1.2です。coefnp90のデフォルトの値は1.0です。

非比例の角度

C

は、４番目にランクされたテンソルで、これは、塑性ひずみと塑性ひずみ増分の方向の関数です(17)

d C_{i j k l} = C_{c} (n_{i j} n_{k l} - C_{i j k l}) d p

非比例硬化の量は、Tanakaのパラメータから計算されます。 ²

(18)

A = \sqrt{1 - \frac{n_{α β} C_{ξ σ α β} C_{ξ σ γ η} n_{γ η}}{C_{i j k l} C_{i j k l}}}

任意の比例荷重について、

A = 0

、 90度フェーズ外荷重についてはは、A = 1/sqrt(2)です。材料定数

r^{i}

および降伏応力

k

は下記のとおり、非比例硬化パラメータと関連付けられます：(19)

\begin{array}{l} d k = b (k_{c} - k) d p \\ d r^{i} = b (r_{c}^{i} - r^{i}) d p \\ k_{c} = k_{o} ((N_{p} - 1) A + 1) \\ r_{c}^{i} = r_{o}^{i} ((N_{p} - 1) A + 1) \\ N_{p} = \sqrt{2} (α - 1) + 1 \end{array}

硬化の割合は、定数 $b$ によってコントロールされます。着目すべきは疲労計算の安定したソリューションであるため、数値的安定性を求めて $b$ = 5が選択されます。ここでは、任意の荷重パスかで応力とひずみを解くためにはこれらの式で十分です。ソリューションはこれらの式をインクリメンタルに解くことによって進み、これは、応力またはひずみコントロールのいずれかで解かれます。開始時の応力と逆応力が初期条件です。材料定数はすべて、それらの初期値で始まり、各荷重増分後に更新されます。

ノッチ補正

ノイバーの規則などの単軸荷重の近似ソリューションは、塑性変形中の応力とひずみの計算に用いられます。残念なことに、ノイバー則は６つの未知数に対し式が５つしかないため、多軸荷重には直接拡張することができません。この問題を克服するために、Koettgen ³は、局所弾塑性応力とひずみを得るために、構造上の降伏曲面を提案しています。"降伏曲面"を定義し、標準周期塑性法を用いて、ノッチでの未知の応力とひずみを求めることができます。材料メモリ効果は、標準周期塑性計算に直接組み込まれます。この手法は、下に示す１つのように、単軸疲労解析で用いられる解析的または実験的公称応力-ノッチひずみ曲線における概念と同じものに基づいています。

周期的な公称応力-ノッチルートひずみ応答は、ヒステリシス、メモリ、周期硬化および軟化といった応力-ひずみ応答に関連したすべての特徴を擁しています。疑似応力

σ^{e}

またはひずみ

ε^{e}

の概念は、弾性の仮定を用いて計算された理論的弾性応力またはひずみとして定義されます。ノイバー則は以下のように、疑似応力の項として書かれます：(20)

σ ɛ = σ^{e} ɛ^{e}

これらの概念は、ノッチにおける構造上の降伏曲面と共に３次元応力およびひずみ状態に一般化することができます。構造上の降伏曲面を定義し、標準周期塑性法を用いて、ノッチでの未知の応力とひずみを求めることができます。多軸荷重については、全応力またはひずみは個々の加重ケースの重ね合わせによって得られます。疑似応力とノッチひずみの間の関係は、応力-ひずみ曲線と同じフォームを有するべき関数で記述されます。(21)

ε = \frac{σ^{e}}{E} + {(\frac{σ^{e}}{K^{*}})}^{\frac{1}{n^{*}}}

ここで定数 $K *$ および $n *$ は、材料ではなく構造の挙動を表します。単軸のノイバー則は、定数 $E *$ 、 $K *$ および $n *$ を構築するために使用されます。

表面上の平面応力

σ_{z}^{e}

、

τ_{y z}^{e}

および

τ_{x z}^{e}

はすべて0で、この降伏関数は次のように記述されます：(22)

\frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{{(σ_{x}^{e} - σ_{y}^{e})}^{2} + {(σ_{x}^{e})}^{2} + {(σ_{y}^{e})}^{2} + 6 {(τ_{x y}^{e})}^{2}} = σ_{y s}

この式は、構造上の降伏関数

F_{o}

を定義します。これは、応力-ひずみ計算用の塑性モデルに使用される降伏関数、すなわち疑似応力という点でミーゼスの降伏関数と同じフォームを有します。(23)

F_{o} (σ_{i j}^{e}) = σ_{y s}

疑似応力から応力を計算するプロセスは、次のようにまとめることができます：

単軸のノイバー則を適用して、 $K *$ および $n *$ を取得（式 22）。
疑似定数 $K *$ および $n *$ を含んだ疑似応力コントロールでJiang-Sehitoglu塑性モデルを実行し、疑似応力-局所ひずみ応答を取得。これで、全ひずみが利用可能となります。(24) $△ ε = [f (K^{*}, n^{*}, E^{*})] △ σ^{e}$
材料定数 $K$ および $n$ を含んだひずみコントロールでJiang-Sehitoglu塑性モデルを実行し、局所ひずみ-局所応力応答を取得。最終的に、応力も利用可能となります。(25) $△ σ = [f (K, n, E)] △ ε$

比例二軸荷重

適用される荷重が比例二軸荷重である場合、Jiang-Sehitoglu塑性モデルを使って増分塑性応力およびひずみを計算する必要はありません。主応力の方向は変わらないため、最大せん断応力と最大引張り応力がどこで発展し、モール円でそれらの値が何であるかは解ります。ユーザーが行うべきは、ノイバー則やグリンカ則などのノッチ補正法を使って、疑似応力範囲を応力範囲に変換することです。OptiStructはこのような場合、Hoffmann-Seeger法を使用します。

FATEVNTで１つのみの静的サブケースが参照される場合、周期荷重は常に比例二軸荷重です。その場合、FATPARMでCHKはYESに設定され、OptiStructはHoffmann-Seeger法を用いて、疑似応力から応力とひずみを計算します。FATEVNTで複数の静的サブケースが参照される場合、OptiStructはJiang-Sehitoglu塑性モデルを実行します。

Hoffmann-Seeger法内での仮定は：

平面応力状態。面外主応力は0。
主応力およびひずみ軸は、その向きが固定される。
面内主応力の割合は一定。
Ramberg-Osgood曲線などの単軸応力-ひずみ曲線は、フォンミーゼスパラメータなど適切な等価応力およびひずみパラメータと使用するために拡張することが可能。
ヘンキーの流動則が適用可能。

OptiStructがHoffmann-Seeger法を使用し、公称応力に基づき応力とひずみをどのように計算するかの概要を、以下のステップで示します。

公称応力からの符号付きのフォンミーゼス応力およびひずみの弾性値：(26) $\begin{array}{l} σ_{e q}^{e} = \frac{σ_{1}^{e}}{| σ_{1}^{e} |} \sqrt{{(σ_{1}^{e})}^{2} + {(σ_{2}^{e})}^{2} - σ_{1}^{e} σ_{2}^{e}} \\ ε_{e q}^{e} = \frac{σ_{e q}^{e}}{E} \end{array}$
等価ひずみおよび応力 $σ_{e q}^{}$ および $ε_{e q}^{}$ は、以下の式を解くことによって得られます：(27) $\begin{array}{l} σ_{e q}^{} ε_{e q}^{} = σ_{e q}^{e} ε_{e q}^{e} = \frac{σ_{e q}^{e}}{E} \\ ε_{e q}^{} = \frac{σ_{e q}^{}}{E} + {(\frac{σ_{e q}^{}}{K^{'}})}^{\frac{1}{n^{'}}} \end{array}$
塑性係数 $H$ を計算します。
(28) $ε_{p e q}^{} = {(\frac{σ_{e q}^{}}{K^{'}})}^{\frac{1}{n^{'}}}$

等価ひずみの塑性部分：(29) $H = (\frac{σ_{e q}^{}}{ε_{p eq}})$
以下により計算される主応力：(30) $\begin{array}{l} a = \frac{σ_{2}^{e}}{σ_{1}^{e}} = \frac{σ_{2}^{}}{σ_{1}^{}} \\ σ_{1}^{} = \frac{σ_{e q}^{}}{\sqrt{1 - a + a^{2}}} \\ σ_{2} = a σ_{1} \end{array}$
以下により計算される主全ひずみ：(31) $\begin{array}{l} {\begin{matrix} ε_{1} \\ ε_{2} \end{matrix}} = [\begin{matrix} \frac{1}{E} + \frac{1}{H} & - \frac{v}{E} - \frac{1}{2 H} \\ - \frac{v}{E} - \frac{1}{2 H} & \frac{1}{E} + \frac{1}{H} \end{matrix}] {\begin{matrix} σ_{1} \\ σ_{2} \end{matrix}} \\ ε_{3} = - (\frac{v}{E} + \frac{1}{2 H}) (σ_{1} + σ_{2}) \end{array}$

等価応力およびひずみについて、Massingの仮定が有効である場合、各量の振幅を計算するために同じ手順を適用することが可能です。

ここで、

ε_{a 1,} ε_{a 2,} ε_{a 3,} σ_{a 1,} and σ_{a 2,}

は以下の式から得られます：(32)

\begin{array}{l} a = \frac{σ_{a 2}^{e}}{σ_{a 1}^{e}} = \frac{σ_{a 2}^{}}{σ_{a 1}^{}} \\ σ_{a 1}^{} = \frac{σ_{a e q}^{}}{\sqrt{1 - a + a^{2}}} \\ σ_{a 2} = a σ_{a 1} \end{array}

(33)

\begin{array}{l} {\begin{matrix} ε_{a 1} \\ ε_{a 2} \end{matrix}} = [\begin{matrix} \frac{1}{E} + \frac{1}{H} & - \frac{v}{E} - \frac{1}{2 H} \\ - \frac{v}{E} - \frac{1}{2 H} & \frac{1}{E} + \frac{1}{H} \end{matrix}] {\begin{matrix} σ_{a 1} \\ σ_{a 2} \end{matrix}} \\ ε_{a 3} = - (\frac{v}{E} + \frac{1}{2 H}) (σ_{a 1} + σ_{a 2}) \end{array}

各量の範囲は、振幅を２倍することにより得られます。

平均応力補正

材料、応力の状態、環境およびひずみ振幅に応じて、疲労寿命は通常、せん断面または引張り面いずれかに沿った微小亀裂成長によって支配されます。

臨界面モデルには、両方のタイプの亀裂成長を支配する支配的パラメータを含んでいます。せん断支配か引張り支配かという異なる破壊モードにより、いかなる単一の平均応力補正モデルもすべての材料についてすべての寿命型において実験データと相関を期待することはできません。多軸疲労寿命の推定に使用するための最良な平均応力補正モデルにコンセンサスは未だ見つかりません。OptiStructでは、多軸疲労解析に複数のモデルが使用されます。ひずみベースの平均応力補正モデルについては、引張り亀裂成長用の1つのモデルSmith-Watson-Topper、および、せん断亀裂成長用の２つのモデルFatemi-SocieとBrown-Miller、およびMorrowモデルが用意されています。損傷モデルは、FATPARMバルクデータエントリのMCORRECTフィールドの後ろで定義することができます。複数のモデルが定義されている場合、OptiStructは入手可能なすべての損傷値から、最大の損傷を導くモデルを選択します。

Smith-Watson-Topperモデル

このモデルは、引張り亀裂成長用です。一部の局所履歴下で、非常に強度の高い鋼材または304ステンレス鋼は、亀裂はせん断で生成されますが、疲労寿命は、最大主応力およびひずみに垂直な面上の亀裂成長によりコントロールされます。ひずみ範囲および最大応力の両方が、疲労損傷の量を決定します。

図 11. SWT損傷モデル

SWTパラメータとして一般的に参照されるこのモデルは元々、単軸荷重の状況における平均応力の補正として開発され、使用が続けられています。SWTパラメータは、主として引張り亀裂のせいで破壊する材料の比例および非比例荷重コンポーネントの解析に使用されます。多軸荷重のSWTパラメータは主ひずみ範囲、

ε_{1 a}

および主ひずみ範囲面上の最大応力

σ_{n, \max}

に基づいています。(34)

ε_{1} σ_{n, \max} = σ_{a} ε_{a} = σ_{a} (\frac{σ_{f}^{'}}{E} {(2 N_{f})}^{b} + ε_{f}^{'} {(2 N_{f})}^{c})

このモデルの応力項により、最大荷重中の平均応力および非比例硬化効果の記述が適切になっています。

Fatemi-Socieモデル

このモデルは、せん断亀裂成長用です。せん断荷重中、不規則形状の亀裂表面は、亀裂先端の応力を小さくする摩擦力を生じ、その結果、亀裂の成長を妨げ、疲労寿命を延ばします。引張り応力とひずみは亀裂表面を分割し、摩擦力を弱めます。この挙動について破面からの証拠が得られています。個々のすべり線が破壊表面上に認められる引張り試験の破面とは対照的に、純粋なねじりによって破壊された物体からの破面は、大規模な擦れを示し、どちらかと言えばのっぺりしています。

図 12. Fatemi-Socieモデル

最大応力の影響を表す意図で考案された、６つの引張り-ねじり荷重履歴を含んだ試験が実施されました。周期法線ひずみも、６つの荷重履歴について一定です。試験の結果として、最大せん断ひずみ振幅、等価応力およびひずみ振幅と塑性仕事はほぼ同じでした。荷重履歴間の主な差異は、最大せん断ひずみの面全域での法線応力です。

荷重履歴および法線応力は、図内の各亀裂成長カーブの上に示されています。最大応力が大きいほど、成長速度は速く、疲労寿命は短くなります。亀裂の発生が、この材料内のより小さな粒の寸法である約10 mmで定義されている場合、最大応力は亀裂の発生にあまり影響を与えません。

これらの見解により、亀裂の閉鎖効果を含むよう周期法線応力により補正された周期せん断ひずみとして解釈され得るモデルが得られます。(35)

\frac{Δ γ}{2} (1 + k \frac{σ_{n, \max}}{σ_{y}}) = \frac{τ_{f}^{'}}{G} {(2 N_{f})}^{b_{γ}} + γ_{f}^{'} {(2 N_{f})}^{c_{γ}}

法線応力に対する材料の感度は、値 $k / σ_{y}$ に反映されます。ここで、 $σ_{y}$ は、OptiStructでは0.002の有意な全ひずみが使用される応力です。複数の応力状態からの試験データが利用できない場合は、 $k$ = 0.3。このモデルは、引張り荷重とねじり荷重との差を説明するだけでなく、平均応力および非比例硬化の影響を表すために使用することができます。ひずみの項のみを含む臨界面モデルは、硬化に由来する平均応力またはひずみ経路の影響を反映できません。

比例荷重についてFATPARMでCHKがYESに設定されている場合、最大せん断ひずみ面で(式 35)が計算されます。詳細については、比例二軸荷重をご参照ください。

τ_{f}^{'}

または

γ_{f}^{'}

が利用できない場合、OptiStructは以下の関係を使ってそれらを計算します。弾性および塑性ひずみは疲労損傷に等しく寄与するため、遷移疲労寿命

2 N_{f}

が選択されます。これは、単軸疲労定数から得られます。(36)

2 N_{f} = {(\frac{E ε_{f}^{'}}{σ_{f}^{'}})}^{(\frac{1}{b - c})}

せん断ひずみ定数を決定するには、Fatemi-Socieモデルを使用することが可能です。(37)

\frac{Δ γ}{2} (1 + k \frac{σ_{n, \max}}{σ_{y}}) = \frac{τ_{f}^{'}}{G} {(2 N_{f})}^{b_{γ}} + γ_{f}^{'} {(2 N_{f})}^{c_{γ}}

まず、せん断と引張りで、指数は同じでなければなりません。(38)

\begin{array}{l} b_{γ} = b \\ c_{γ} = c \end{array}

せん断率は、引張り弾性率から直接計算されます。(39)

G = \frac{E}{2 (1 + ν)}

降伏強度は、単軸周期応力ひずみ曲線から推定できます。(40)

σ_{y} = K^{'} {(0.002)}^{n^{'}} = \frac{σ_{f}^{'}}{ε_{f}^{' \frac{b}{c}}} {(0.002)}^{\frac{b}{c}}

法線応力とひずみは、遷移疲労寿命と単軸プロパティから計算されます。(41)

\begin{array}{l} \frac{Δ ε_{p}}{2} = ε_{f}^{'} {(2 N_{t})}^{c} \\ \frac{Δ ε_{p}}{2} = \frac{σ_{f}^{'}}{E} {(2 N_{t})}^{b} \\ σ_{n, \max} = \frac{Δ σ}{4} = \frac{E Δ ε_{e}}{4} \end{array}

弾性および塑性ポアソン比の値を適切なものに置き換えることにより：(42)

\begin{array}{l} \frac{Δ γ_{e}}{2} = 1.3 \frac{Δ ε_{e}}{2} \\ \frac{Δ γ_{p}}{2} = 1.5 \frac{Δ ε_{p}}{2} \end{array}

全ひずみの弾性パートと塑性パートを分離すると、せん断ひずみ寿命定数について以下のとおり表されます：(43)

\begin{array}{l} {τ^{'}}_{f} = \frac{1.3 Δ ε_{e}}{2} (1 + k \frac{σ_{n, \max}}{σ_{y}}) \frac{G}{{(2 N_{t})}^{b_{γ}}} \\ {γ^{'}}_{f} = \frac{1.5 Δ ε_{p}}{2} (1 + k \frac{σ_{n, \max}}{σ_{y}}) \frac{1}{{(2 N_{t})}^{c_{γ}}} \end{array}

Brown-Millerモデル

このモデルは、せん断亀裂成長用です。BrownとMillerは、一定のせん断ひずみ範囲でねじりと引っ張りの組み合わされた試験を行いました。最大せん断ひずみの面上の法線ひずみ範囲は、適用されている引張りとねじりひずみの比と共に変化します。一定のせん断ひずみ振幅について以下に示すデータに基づき、せん断と法線ひずみが組み合わさった作用により疲労寿命が短くなるため、疲労のプロセスを表すには２つのひずみパラメータが必要であると、BrownとMillerは結論付けました。

図 13. 疲労寿命 vs 法線ひずみ振幅

Morrow

Morrowは最初に平均応力

σ_{0}

を疲労強度に導入することにより、次のように平均応力の影響を考慮しています：(44)

ε_{a}^{e} = \frac{(σ'_{f} - σ_{0})}{E} {(2 N_{f})}^{b}

したがって、疲労寿命の式全体は次のようになります：(45)

ε_{a} = \frac{(σ'_{f} - σ_{0})}{E} {(2 N_{f})}^{b} + ε_{f}^{'} {(2 N_{f})}^{c}

Morrowの式は、低い塑性ひずみでは平均応力の影響が顕著で、高い塑性ひずみでは小さいという考察に一致しています。

法線ひずみ振幅の影響

高周期疲労についてFindleyが提唱したせん断および法線応力と類似し、最大せん断の面上の周期せん断および法線ひずみの両方が考慮されるべきであると、彼らは提案しました。周期せん断ひずみは亀裂の開始を助長し、法線ひずみはその成長に加担します。彼らは下記のシンプルな理論式を提案しました：(46)

\frac{Δ \hat{γ}}{2} = \frac{Δ γ_{\max}}{2} + S Δ ε_{n}

ここで、

Δ \hat{γ}

は等価せん断ひずみ範囲、

S

は材料の微小亀裂成長への法線ひずみの影響を表す材料依存のパラメータで、軸およびねじりデータを関連付けることによって決定されます。

Δ γ_{\max}

は最大せん断ひずみ範囲、

Δ ε_{n}

はせん断ひずみ範囲

Δ γ_{\max}

の面上の法線ひずみ範囲です。ポアソン比の適切な値を弾性および塑性ひずみに別々に考慮すると：(47)

\frac{Δ γ_{\max}}{2} + S Δ ε_{n} = A \frac{σ_{f}^{'}}{E} {(2 N_{f})}^{b} + B ε_{f}^{'} {(2 N_{f})}^{c}

ここで、

$A = 1.3 + 0.7 S$

$B = 1.5 + 0.5 S$

平均応力の影響は、比例強度係数から平均応力を差し引いたMorrowの平均応力アプローチを使って含められます。最大せん断ひずみ振幅面上の平均応力

σ_{n}

は、軸方向平均応力の半分で、以下のとおりとなります：(48)

\frac{Δ γ_{\max}}{2} + S Δ ε_{n} = A \frac{σ_{f}^{'} - 2 σ_{n, m e a n}}{E} {(2 N_{f})}^{b} + B ε_{f}^{'} {(2 N_{f})}^{c}

せん断亀裂成長モードには、Fatemi-SocieモデルかMiller-Brownモデルを選択します。SWTモデルは引張り亀裂成長に常に使用されます。Morrow法も使用が可能です。

比例荷重ケースにFATPARMでバルクデータエントリでCHKがYESに設定されている場合、上記の式は最大せん断ひずみ面について計算されます。詳細については、比例二軸荷重をご参照ください。

比例荷重の場合、最大損傷面を見出すために臨界面を探す必要はありません。これは、主応力および主ひずみの方向が変化せず、最大せん断応力振幅と最大法線応力振幅の方向がわかっているためです。面における必要な情報は、モール円を使って簡単に計算できます。

比例荷重ケースにFATPARMでCHKがYESに設定されている場合、Fatemi-Socieモデルの損傷は、主応力面から45度の角度にある最大せん断ひずみ面で計算されます。

SWTモデルの損傷は、最大主応力面で計算されます。

同様に、Brown-MillerモデルとFindleyモデルの損傷はそれぞれ、最大せん断ひずみ面と最大せん断応力面で計算されます。

図 14. ひずみベースの多軸疲労解析の解析フロー

参考文献

Dang Van基準（安全係数）

コンポーネントが荷重履歴全体の中で破壊されるかどうかの予測に使用されます。特定の物理システムでは、コンポーネントが無限に長持ちすることを要求される場合があります。

たとえば、高い回転速度で多軸周期荷重に耐えている自動車のコンポーネント（プロペラシャフトなど）は、短期間の実働寿命で高サイクルの疲労限界に到達します。この場合、破壊に至る最小限の疲労サイクルを指定する従来の疲労結果は適用できません。疲労損傷量を定量化する必要はなく、コンポーネントの疲労履歴全体で疲労損傷が発生するかどうかのみを考慮する必要があります。損傷が発生する場合、そのコンポーネントが無限の寿命になることはできません。Dang Van基準に基づく疲労解析は、このために設計されています。

通常、疲労による亀裂は、幾何的な不連続部分、フィレット、切欠などの応力集中ゾーンから始まります。この現象は微小なレベル、すなわち、結晶内での局所的な塑性変形状態にある複数の分子のような特定の領域で発生します。Dang Vanアプローチは、明確な安定状態で微小な変数を使用して、疲労の基準を公準化します。損傷が発生しない場合、これは弾力的な調整状態になります。この基準の主原則は、疲労サイクルの通常の特性化は局所的な載荷パスに置き換えられるので、損傷を受けている荷重を区別できるということです。

Dang Van疲労解析の一般的な手順は次のとおりです：

異なる時点で位置ごとに、巨視的な応力 $σ_{i j} (t)$ を評価します。
巨視的な応力 $σ_{i j} (t)$ を、静水圧部分 $p (t)$ と偏差部分 $S_{i j} (t)$ に分割します。
次の式に基づいて、微視的な静止残差応力 $d e v p *$ を計算します：
(49) $d e v p^{*} = M i n (M a x (J_{2} (S_{i j} (t) - d e v p)))$

この式は $ρ$ に関して最小化され、 $t$ に関して最大化されます。
微小な応力の偏差部分を計算します。
(50) $s_{i j} (t) = S_{i j} (t) + d e v p^{*}$
安全係数（FOS）を計算します：
(51) $F O S = M i n (\frac{b}{τ (t) + a p (t)})$ (52) $τ (t) = 0.5 T r e s c a (s_{i j} (t))$

ここで、 $b$ と $a$ は材料定数です。

FOSが1より小さい場合、コンポーネントが無限の寿命になることはできません。

OptiStruct安全係数（FOS）の設定

FOS解析に必要なねじりの疲労限界と流体応力感度の値は、MATFATバルクデータエントリのオプションのFOS継続行で設定できます。
Dang Van基準のタイプは、FATPARMバルクデータエントリで選択できます。
安全係数出力は、FOS入出力オプションエントリを使用して要求できます。

¹ Jiang and Sehitoglu "Modeling of Cyclic Ratcheting Plasticity, Part I: Development of Constitutive Equations," Journal of Applied Mechanics, Vol. 63, 1996, 720-725

² Tanaka, E., "A Non-proportionality Parameter and a Cyclic Viscoplastic Constitutive Model Taking into Account Amplitude Dependencies and Memory Effects of Isotropic Hardening," European Journal of Mechanics, A/Solids, Vol. 13, 1994, 155-173)

³ Koettgen V.B., Barkey M.E., and Socie, D.F. 「Pseudo Stress and Pseudo Strain Based Approaches to Multiaxial Notch Analysis" Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures, Vol. 18, No. 9, 1995, 981-1006)