OS-V：0820 粘弾性を備えたMarlow超弾性材料モデル

超弾性材料モデルと粘弾性の組み合わせによって、ひずみ速度に依存した大ひずみ応答をモデル化できます。

Marlowモデルは、少数のモデルパラメータを使用せずに1つのスカラー関数を使用して機械的特性を設定するという点で、ほとんどの超弾性モデルと異なります。パラメータの調整を使用せずに応力-伸長（伸長=工学ひずみ+1）曲線を指定することで、Marlowモデルを容易に定義できます。Marlowモデルと粘弾性の組み合わせは、高精度で使いやすいひずみ速度依存型超弾性モデルを作成する手法です。この組み合わせの場合、Marlowモデルでは、瞬時材料応答または長期的材料応答を得るために応力-伸長曲線が必要になりますが、実験で得られるデータは有限なひずみ速度での値に限られます。

ベンチマークモデル

この単一のCHEXA8要素モデルはエッジの長さが1.0mmです。このMarlowモデルは、データの単一なセットを使用するだけで実験データから得られます。単軸引張試験、単軸圧縮試験、等二軸試験、または平面試験の形式による試験データを使用します。偏差挙動は、1回目の伸長不変量のみに依存し、2回目の不変量には依存しません。

材料

Marlowモデル向けに使用される特性材料は次のとおりです：

特性材料: 値
密度: 1 x 10^-9トン/mm³
ポアソン比: 0.499

モデルファイル

必要なモデルファイルのダウンロードについては、モデルファイルへのアクセスを参照してください。

この問題では、以下の各モデルファイルを使用します：

MATHE-Marlow_tension.fem
MATHE-Marlow_compression.fem
MATTHE-Marlow.fem
MATHE-VE-Marlow.fem
MATTHE-VE-Marlow.fem

MATHE引張

超弾性材料モデルでは、ひずみエネルギー密度を変形状態の関数として定式化することで、非線形弾性挙動を表現します。この弾性ポテンシャルは、ひずみ不変量（ $I 1$ , $I 2$ , $J$ ）または主伸長（ $λ 1$ , $λ 2$ , $λ 3$ ）の関数として表現します。一般に超弾性モデルは、材料定数または実験データを使用して指定できます。

Marlowモデルの場合は、表形式の実験データのみを指定できます（図 3を参照）。

引張入力データで対応できる工学応力は最大で0.46MPaまでです。設計荷重は公称応力0.5MPaに相当しているので、NLSTAT LGDISP荷重ステップの最後では外挿を使用します。

Marlowモデルでは、スカラーパラメータの代わりにスカラー関数を使用して材料挙動を定義します。このモデルでは、ひずみエネルギー密度が2回目の偏差ひずみ不変量に依存しないと想定するほか、ひずみエネルギー密度を偏差部分と体積部分に分割できると想定しています。体積部分は拘束圧縮で重要です。(1)

U (I 1, I 2, J) = U d e v (I 1) + U v o l (J)

非圧縮性変形の場合は、単一のスカラー関数

U d e v

で本質的に弾性ポテンシャルを定義します。この関数は、単一試験（単軸引張試験など）で測定した応力-ひずみ応答によって一意に決まります。MATHEは圧縮性であってもほぼ非圧縮性であってもかまわず、変形中は体積応答が常時一定になるようにnuまたはD1を指定します。

結果

CHEXA要素を使用した超弾性材料が単軸引張試験で示すピーク変形量は13.09mmです。

MATHE圧縮

力によって公称圧縮応力0.05MPaを適用します。このモデルは単純に支持されています。

体積部分

U v o l

が考慮されます。横方向に自由な膨張が可能なので、体積部分の重要性は高くありません。圧縮性モデルのポテンシャルの体積部分は、静水圧縮試験の応力-ひずみ曲線から得ることができます。これは、圧力の関数として体積比を指定したTABDで定義します。

U v o l

を決定すると、体積挙動を考慮した標準の圧縮試験から

U d e v

が得られます。この手法では、扱いやすい形でMarlowモデルを実装できます。偏差挙動と体積挙動は表形式で指定します。この表には、単軸試験、二軸試験、または平面試験の試験データを記述するほか、圧縮性モデルの場合は体積試験の試験データも記述します。これらの例では、TABDは使用せず、代わりにポアソン比を指定します。変形量に依存しない体積挙動は、初期せん断剛性（TAB1）とポアソン比から内部的に得られます。

圧縮時には、伸長量は $0 < λ \leq 1$ の範囲で設定でき、モデルの変形は指定の範囲に収まります。

結果

CHEXA要素の超弾性Marlowモデルは、x方向に0.8185mmのピーク変位を示します。

MATTHE

MATTHEを使用して、温度依存の超弾性材料を設定します。MATTHEは、陰解法LGDISP解析でサポートされています。各温度における実験に基づく工学応力-伸長データが昇順の表形式で用意されています。

OptiStructでMarlow材料モデルを定義する際に、体積挙動が温度に依存しない場合は、1列目が公称応力、2列目が伸長量、3列目が温度にそれぞれ対応します。この場合は、nu（またはD1）を使用して、変形中を通じて常に一定の体積応答を設定します。

このサンプルモデルには、さまざまなフェーズで進展する機械荷重プロファイルと熱荷重プロファイルを定義した2つのTLOAD1が設定されていて、DLOADと組み合わされます。

結果

CHEXA要素の超弾性MATTHE Marlowモデルは、x方向に4.636mmのピーク変位を示します。

MATHE+VE

超弾性Marlowモデルと粘弾性の組み合わせによって、Marlow手法の利点を維持しながら、ひずみ速度に依存する材料挙動を表現できます。ここでいうMarlow手法の利点とは、試験データを直接使用した簡便な設定と、試験データの正確なモデリングです。粘弾性モデルを使用すると、緩和およびひずみ速度依存の弾性特性を表現できます。

せん断変形を考慮すると、線形微小ひずみ粘弾性の積分定式は次のようになります。(2)

τ (t) = \int_{0}^{t} G (t - s) \frac{d γ (s)}{d t} d s

ここで、

$τ$: せん断応力
$γ$: せん断ひずみ
$G (t)$: 緩和関数

この式は、瞬時せん断係数

G_{0}

と相対緩和関数

g (t)

を使用して次のように記述できます。(3)

τ (t) = G \int_{0}^{t} g (t - s) \frac{d γ (s)}{d t} d s

通常、

N

個の緩和時間

τ_{i}

と係数

g_{i}

をパラメータとして使用したProny級数で緩和関数を記述します。(4)

g (t) = 1 - \sum_{i = 1}^{N} g_{i} (1 - e^{- \frac{t}{τ_{i}}})

これらのProny級数パラメータは、緩和試験から得ることができます。この試験では、一定のひずみを瞬時適用し、それによる応力の経時緩和を測定します。この試験のわかりやすい評価法は、一定期間にわたる正規化応力の変化を正規化緩和関数として解釈し、このProny級数を使用してこの正規化応力をフィッティングすることです。この手法では、時間の経過に伴う正規化応力の減少は、材料モデルの超弾性部分の非線形性によって大きな影響を受けないことを想定しています。

表 1. この例のProny級数パラメータと体積弾性係数
$g_{1}$	$τ_{1}$ （s）	$g_{2}$	$τ_{2}$ （s）	$g_{3}$	$τ_{3}$ （s）	$g_{4}$	$τ_{4}$ （s）	$g_{5}$	$τ_{5}$ （s）	GPaのK
0.3539	0.08124	0.07458	1.692	0.05052	35.23	0.04117	733.5	0.04575	15275	2.5

粘弾性を考慮する場合は、MATHEカードの継続行で体積弾性係数の時間特性を指定する必要があります。デフォルトでは、これは長期的緩和入力と見なされます。これを瞬間入力として指定する方法もあります。MATVEカードのIDはMATHEと同じです。

粘性超弾性モデルの定義に従って、Prony級数の各パラメータを指定する必要があるほか、ポテンシャルU₀による一時的な（ここでは瞬間的な）超弾性応答を指定する必要があります。これは、考慮する最短緩和時間よりもはるかに短い時間スケールでモデルが示す応答です。この時間スケールはモデルの有効範囲外にあるため、実際の材料挙動に対する周波数上限についてU₀は物理的意味を持ちません。しかし、モデルを指定するために、実験データからU₀を特定する必要があります。これは基本的に、ひずみ速度を一定にした単軸応力-ひずみ曲線から、瞬時超弾性応答を表現した曲線への変換です。

赤い破線で描かれた曲線は、粘弾性Marlowモデルの瞬時応力-ひずみ曲線です。このサンプルモデルでは、応力-伸長データを瞬時的なMATHEの定義として扱い、Prony級数を使用して粘弾性挙動を定義しています。

単一要素モデルには、ゼロから公称応力までの単軸荷重を適用します。公称応力が10.0MPaである1番目の荷重ステップでは0.02秒間で応力が増大し（左）、公称応力が5.5MPaである2番目の荷重ステップでは200秒間で応力が増大しています（右）。

結果

どちらの荷重ステップも、非線形過渡解析の終了時に同じ2mmの変位を示します。公称ひずみは基準結果と一致します。

MATTHE+VE

このモデルは、CTETRA、CPENTA、CHEXAの各要素で表現した3つの立方体で構成されています。最大で30％の変形レベルが発生するさまざまなひずみ速度でモデルに荷重を適用したうえで、非線形過渡での合計解析時間が147秒になるようにモデルを保持します。解析環境をT=100℃として、それぞれT=80℃およびT=120℃で入力データを適用します。

粘弾性を有する温度依存のMarlowモデルを、前述の材料設定と組み合わせます。温度依存のMATTHEを表形式で設定します。MATVEで記述されているひずみ速度依存性は、すべての環境で共通です。

これらのサンプルモデルでは、幅広く参照されているTreloarの応力-伸長データを基準として採用しており、T=100℃におけるベースライン解が返されると考えられます。応力値に係数として0.8と1.2を乗算すると、2種類の温度の外挿環境における応力-伸長データが得られます。

2種類の外挿環境における単軸引張データを入力データとして使用します。

結果

MATTHEとMARLOW+VEの組み合わせからは、公開されている結果と良好に一致する応力緩和の結果が返されます。基準スタディでは、OGDEN MATHEを使用しています（単一環境）。OptiStruct MATHE(OGDEN)+VEは、基準で示されているシミュレーション結果と全面的に一致します。

¹ Transformation of Test Data for the Specification of a Viscoelastic Marlow Model. Olaf Hesebeck, Fraunhofer Institute for Manufacturing Technology and Advanced Materials IFAM, Wiener Straße 12, 28359 Bremen, Germany.

² Parameter Identification Methods for Hyperelastic and Hyper-Viscoelastic Models. Yifeng Wu, Hao Wang, and Aiqun Li. School of Civil Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China, Beijing University of Civil Engineering and Architecture, Beijing 100044, China