ひずみ-寿命（E-N）アプローチ

ひずみ-寿命解析は、切欠きの根元のような多くの重大な場所では応力集中を伴うという事実に基づいており、そしてこれらは疲労破壊に達する前の周期荷重の間に明らかな塑性変形を伴います。このため、弾塑性ひずみの結果がひずみ-寿命解析の実行に不可欠になります。

Neuber補正

Neuber補正は弾性ひずみの結果を弾塑性の結果に補正する最も有名な手法です。

公称応力から局所応力を簡単に得るため、局所応力集中係数

$K_{σ}$ 、および局所ひずみ集中係数

$K_{ε}$ のような集中係数が導入されます。(1)

$K_{σ} = σ / S$

(2)

$K_{ε} = ε / e$

ここで、

$σ$ は局所応力、

$ε$ は局所ひずみ、

$S$ 公称応力、

$e$ は公称ひずみです。応力と局所応力の両方が弾性の場合、局所応力集中係数は局所ひずみ集中係数と等しくなります。しかし塑性ひずみが存在すると、

$K_{σ}$ と

$K_{ε}$ の間の関係はもはや保たれません。その後、この状況に焦点を当て、Neuberは理論的に以下のように定義される弾性応力集中係数

$K_{t}$ は次のように定義されます：(3)

$K_{t}^{2} = K_{σ} K_{ε}$

Equation 1とEquation 2をEquation 3に代入すると、理論応力集中係数

$K_{t}$ は次のように書き直されます：(4)

$K_{t}^{2} = (\frac{σ}{S}) (\frac{ε}{e})$

線形静的FEAを通して、公称応力の代わりに局所応力が得られ、そしてEquation 4に含まれる形状の影響は除去できます。それ故、

$K_{t}$ は1とすることができ、Equation 4は次のように書き直されます：(5)

$σ ε = σ_{e} ε_{e}$

ここで、 $σ_{e}$ 、 $ε_{e}$ は弾性解析で得られる局所弾性応力と局所弾性ひずみで、 $σ$ 、 $ε$ は塑性ひずみが存在するときの応力とひずみです。 $σ$ と $ε$ は、周期応力-ひずみ曲線とヒステリシスループのための式と共にEquation 5から計算できます。

単調増加の応力-ひずみ挙動

現在の形状と比較して、真応力と真ひずみの関係式は次のように定義できます：(6)

$σ = P / A$

(7)

$ε = \int_{l}^{l} \frac{d l}{l} = \ln (1 + \frac{l - l_{0}}{l_{0}})$

ここで、 $A$ は現在の断面積、 $l$ は現在の試験体の長さ、 $l_{0}$ は試験体の初期長さ、 $σ$ と $ε$ はそれぞれ真応力と真ひずみで、Figure 1は真応力-真ひずみ空間での単調増加の応力-ひずみ曲線を示します。全ての過程において、試験体がCで破壊するまで応力は増加し続けます。

Figure 1. 単調増加の応力-ひずみ曲線

Figure 1は2つの代表的なセグメントからなっています、即ち弾性セグメントOAと塑性セグメントACです。セグメント OA では応力と弾性ひずみ間の関係はHooke 則に従い、線形関係を保ちます。(8)

$σ = E ε_{e}$

ここで、

$E$ は弾性係数、

$ε_{e}$ は弾性ひずみです。関係式は次のように書き直すことができ：(9)

$ε_{e} = σ / E$

弾性ひずみは応力の項として表現することができます。ほとんどの材料では、塑性ひずみと応力の関係は単純な指数則の形で表現することができます：(10)

$σ = K {(ε_{p})}^{n}$

ここで、

$ε_{p}$ は塑性ひずみ、

$K$ は強度係数、

$n$ は加工硬化係数です。同様に、塑性ひずみも応力の項として書き表すことができます:(11)

$ε_{p} = {(\frac{σ}{K})}^{1 / n}$

試験体に載荷して生ずる点BまたはDまでの全ひずみは、塑性ひずみと弾性ひずみの合計になります：(12)

$ε = ε_{e} + ε_{p} = \frac{σ}{E} + {(\frac{σ}{K})}^{1 / n}$

繰り返し応力-ひずみ曲線

単調な荷重と比較して繰り返し荷重下では材料は異なる挙動を示します。一般的に、これらには4種類の応答があります。

安定状態
周期硬化
周期軟化
ひずみレンジによって軟化または硬化

どの応答が起こるかはその本来の物性や熱処理の初期条件に依存します。 Figure 2 は2つの異なる材料の最初の2回のヒステリシスループでの繰り返し硬化と繰り返し軟化の効果を示しています。両方のケースでひずみは固定のレンジ内の変化に固定されており、応力は任意に変化できるようになっています。Figure 2の上部に示すように、固定された応力レンジの下で、前のサイクルに比べてひずみレンジが増加する場合、これは周期硬化と呼ばれます。反対は、Figure 2下部に示すように周期軟化となります。材料の繰り返し応答は、応力レンジを指定し、ひずみを固定しない状態にすることで表すこともできます。固定された応力レンジの下で、前のサイクルに比べてひずみレンジが増加する場合、これは周期軟化と呼ばれます、反対は周期硬化となります。実際、材料の周期的な挙動は、材料の総寿命の10%未満を占める短い時間が経過すると定常状態になります。異なるひずみレンジを指定した場合でも、定常状態の一連のヒステリシスループを得ることができます。Figure 3に示すように、これらのヒステリシスループを１つの座標に置き、これらのヒステリシスループの頂点を結ぶと単調な載荷の応力-ひずみ曲線と同様の繰り返しの応力-ひずみ曲線を次のように決定することができます：

Figure 2. 材料の周期応答

Figure 3. 安定な応力-ひずみ曲線の定義

(13)

$ε = ε_{e} + ε_{p} = \frac{σ}{E} + {(\frac{σ}{K^{'}})}^{1 / n^{'}}$

ここで、

$K^{'}$: 周期強度係数
$n^{'}$: ひずみ周期硬化指数

ヒステリシスループの形状

Bauschingerは塑性ひずみを生ずる初期荷重の後、荷重の反転で材料が異方性を示すことを提示しました。実験的な証拠に基づき、 Massingは応力-ひずみのヒステリシスループは応力ひずみ曲線と形状は同様になるものの2倍の大きさになると仮定を進めています。これは量（

$Δ ε, Δ σ$ ）が（

$ε, σ$ ）の２倍であるとき、応力ひずみサイクルがヒステリシスループに乗ることを意味しています。これは次の式で表すことができます:(14)

$Δ σ = 2 σ$

(15)

$Δ ε = 2 ε$

$σ$ をΔσの項で、

$ε$ をΔεの項で表し、それをEquation 13に代入すると、ヒステリシスループの式が次のように導き出されます：(16)

$Δ ε = \frac{Δ σ}{E} + 2 {(\frac{Δ σ}{2 K'})}^{1 / n'}$

およそ1世紀前、Basquinは応力が限られているとき、応力と疲労寿命の間に対数スケールで線形関係にあることを示しました。彼は、応力によってコントロールされる次の式を提案しています：(17)

$σ_{a} = σ'_{f} {(2 N_{f})}^{b}$

ここで、

$σ_{a}$ は応力振幅、

$σ_{f}^{'}$ は疲労強度係数、

$b$ は疲労強度指数です。1950年代後半、CoffinとMansonがひずみも疲労寿命に単純な指数則で関連づけられることをそれぞれ個別に提案しました：(18)

$ε_{a}^{p} = ε'_{f} {(2 N_{f})}^{c}$

ここで、

$ε_{a}^{p}$ は塑性ひずみ振幅、

$ε'_{f}$ は疲労延性係数、

$c$ は疲労延性指数です。MorrowはBasquin、Coffin、Mansonの業績を統合し、弾性ひずみと塑性ひずみの両方の疲労寿命への寄与を考慮しました。彼は、全ひずみが疲労寿命に対してより直接的に相関することを発見しました。Hooke則を用いると、Basquin則は次のように書き直すことができます:(19)

$ε_{a}^{e} = \frac{σ_{a}}{E} = \frac{σ'_{f}}{E} {(2 N_{f})}^{b}$

ここで、

$ε_{a}^{e}$ は弾性ひずみ振幅です。全ひずみ振幅は、弾性ひずみと塑性ひずみの合計として、それ故、Basquinの式とCoffin-Mansonの式を適用することにより記述することができます：(20)

$ε_{a} = ε_{a}^{e} + ε_{a}^{p} = \frac{σ'_{f}}{E} {(2 N_{f})}^{b} + ε'_{f} {(2 N_{f})}^{c}$

ここで、

$ε_{a}$ は全ひずみ振幅で、他の変数は上と同じです。

Figure 4. 対数スケールでのひずみ-寿命曲線

平均応力補正

実際には平均応力は避けられないにもかかわらず、実験室での疲労試験は常に完全反転で実施されます、このため、完全反転の実験で確立された疲労則は工学問題に適用される前に補正される必要があります。

Morrow：

Morrowは最初に平均応力

$σ_{0}$ を疲労強度に導入することにより、次のように平均応力の影響を考慮しています：(21)

$ε_{a}^{e} = \frac{(σ'_{f} - σ_{0})}{E} {(2 N_{f})}^{b}$

したがって、疲労寿命の式全体は次のようになります：(22)

$ε_{a}^{} = \frac{(σ'_{f} - σ_{0})}{E} {(2 N_{f})}^{b} + ε_{f}^{'} {(2 N_{f})}^{c}$

Morrowの式は、低い塑性ひずみでは平均応力の影響が顕著で、高い塑性ひずみでは小さいという考察に一致しています。

MORROW2

負の平均応力の影響を無視することによりMORROW法を改善します。

Smith、Watson、Topper：

Smith、WatsonとTopperは1サイクルの間の最大応力を考慮して平均応力の影響を算出する別の方法を提案しました（以下、この方法を以下SWTと呼びます）。この場合、損傷パラメータは1サイクルでの最大応力とひずみレンジの積として補正されます。(23)

$ε_{a}^{S W T} σ_{\max} = ε_{a} σ_{a} = σ_{a} (\frac{σ'_{f}}{E} {(2 N_{f})}^{b} + ε'_{f} {(2 N_{f})}^{c})$

SWT法では最大応力が0または負の時、損傷は0と予測することになりますが、これは現実と一致しません。

2つの方法を比較すると、SWT法は荷重で引張りが大部分の場合、保守的な寿命を予測するのに対し、Morrowのアプローチは荷重で圧縮が支配的な場合にも現実的な結果をもたらします。

損傷加算モデル

E-Nアプローチでは、S-Nアプローチと同じ損傷加算モデルを用いるものとし、Palmgren-Minerの線形総和則が用いられます。