応力-寿命（S-N）アプローチ

一般的に、材料S-N曲線 (およびその他の疲労特性) は、完全反転の回転曲げ試験を通して、実験から得られます。通常実験結果には大きなばらつきを伴うため、データの統計的な特徴づけが必要になります(曲線の標準の誤差によるS-N曲線の修正には耐久確実性が用いられ、より高い信頼性レベルにはより大きな耐久確実性を必要とします)。

Figure 1. 実験からのS-Nデータ

S-N実験データが、公称応力の大きさ$$S_a$$または範囲$$S_R$$のどちらかに対する破壊のサイクル数$$N$$が共に対数でプロットされると、その$$S$$と$$N$$の関係は直線のセグメントで記述できます。通常、1つまたは2つのセグメントでの理想化が用いられます。

Figure 2. 両対数スケールでの1セグメントS-N曲線

(1) $S=S1{\left(N_f\right)}^{b1}$

セグメント1に対して

ここで、$$S$$公称応力のレンジ、$$N_f$$は破壊する疲労サイクル、$$b_l$$は最初の強度指数、$$SI$$は疲労強度指数です。

S-N アプローチは弾性的な繰り返し荷重に基づき、S-N 曲線は寿命軸上の、1000 サイクル以上の数の範囲にあるはずとの推定に基づいています。このことは大きな塑性は起こらない、ということを保証します。これは一般に高サイクル疲労と言われます。

S-N曲線データは、Materialsモジュールを使用して指定された材料に関して提供されます。

"サイクルカウント"を理解する１つの方法は応力-ひずみ関係を、時刻との対比に変更したものとして捉えることです。サイクルカウントは応力-ひずみ関係のヒステリシスループの数をカウントし、その範囲/平均値または最大値および最小値の記録をつけます。

S-N 理論は単軸応力を扱うため、それぞれの計算点、それぞれの時間ステップにおける応力成分は１つの統合された値にする必要があり、そこで、等価な公称応力が用いられ、S-N 曲線に適用されます。

さまざまな応力の組み合わせタイプが利用可能で、デフォルトは “Absolute maximum principal stress （絶対値最大の主応力）”です。脆性材料には "Absolute maximum principal stress"が推奨されますが、延性材料には"Signed von Mises stress"が推奨されます。符号付きパラメータの符号には最大絶対値主値の符号が用いられます。

"臨界平面応力 "は、単軸計算用の応力組合せ（応力寿命とひずみ寿命）としても利用できます。

例えば、要求された飛行機の数が20機の場合、10度ごとに応力が計算されます。

デフォルトではHyperLifeは、要求された平面の数に加え、𝜃 = 45および135度の面もでも計算します。これは、これらの飛行機で発生した場合の最悪の被害も含めてのことです。

一般的に S-N 曲線は完全反転の繰り返し荷重の標準の試験から得られます。しかし、本来の疲労荷重は、完全なものではなく、平均応力は部品の疲労性能上で大きな影響を与えます。疲労強度に関して引張りの軸平均応力は有害ですが、圧縮の軸平均応力は有益です。平均応力修正は0でない平均応力の影響を考慮するために用いられます。

Haigh'座標のGerber放物線とGoodman線が平均応力の影響を考慮する際に広く用いられており、これらは次のように表すことができます:

Gerber

Goodman

SN曲線が応力比R=-1の曲線の場合

Gerber2

負の平均応力の影響を無視することによりGerber法を改善します。

SN曲線が応力比R!=-1の曲線の場合

$S_m>0$の場合、Gerberと同じ

$S_m\le 0$の場合、 $S_{a-R}=S_a$

Soderberg

GOODMANと僅かに異なり、平均応力は、極限引っ張り応力ではなく降伏応力により正規化されます。

FKM

平均応力補正に1つの勾配フィールドのみが指定されている場合、平均応力補正のための対応する平均応力感度値（$M$）はRemige 2の勾配（Figure 14）と等しくなるよう設定されます。FKM-Guidelinesに基づき、Haigh図は応力比（$$R=S_{\min }/S_{\max }$$）の値をベースに4つのレジームに分割されます。続いて、補正値を使って損傷および寿命計算ステージのためにS-Nカーブが選択されます。

Figure 14.

Note: 以下のFKM式は、補正応力振幅（$S_e^A$）の計算を示します。損傷計算に使用される実際の応力の値は、補正応力範囲（$2\cdot S_e^A$）です。これらの式はユーザーによってSNカーブに適用されます（デフォルトでは、応力比R=1.0の場合、ユーザー定義のSNカーブが入力されることが期待される）。

HyperLifeでは、FKM補正に2つのオプションが使用できます。これらは、FKM MSSを、Assign Materialダイアログの1 slope4 slopesに設定することで有効になります。

平均応力補正に対して4つすべての勾配が指定された場合は、対応する平均応力感度値が4つすべての領域を制御する勾配になります。FKM-Guidelinesに基づき、Haigh図は応力比（$$R=S_{\min }/S_{\max }$$）の値をベースに4つのレジームに分割されます。続いて、補正値を使って損傷および寿命計算ステージのためにS-Nカーブが選択されます。

Interpolate

ケースA

サイクルに点Aにおける150MPaの平均応力が含まれている場合は、HyperLifeがFigure 19で点1と点2を探します。その後で、HyperLifeが平均応力に関するlogN1とlogN2を線形補間し、平均応力150MPaにおけるlogN_Aを決定します。logN_Aが決定されたら、寿命（N_A）と対応する損傷を決定できます。

ケースB

ケースC

サイクルに曲線セットの最小平均応力（このケースでは90MPa）を下回る平均応力が含まれている場合は、HyperLifeが最小平均応力のSN曲線を使用して寿命を決定します。Figure 19内の例では、寿命がN2になります。

ケースA

サイクルに点AにおけるR=-0.2が含まれている場合は、HyperLifeがFigure 20で点1と点2を探します。その後で、HyperLifeが平均応力に関するlogN1とlogN2を線形補間し、R=-0.2におけるlogN_Aを決定します。サイクルのR値と応力振幅が与えられれば、サイクルの平均応力を計算できます。logN_Aが決定されたら、寿命（N_A）と対応する損傷を決定できます。HyperLifeは補間に応力比を使用しないことに注意してください。これは、最大応力が0のときにRが無限大になるためです。

ケースB

ケースC

サイクルに曲線セットの最小R（このケースではR=-1）を下回るRが含まれている場合は、HyperLifeが最小RのSN曲線を使用して寿命を決定します。Figure 20内の例では、寿命がN2になります。

ケースA

サイクルに点Aにおける平均応力と応力振幅が含まれている場合は、HyperLifeがFigure 21で点1と点2を探します。点Aの寿命は1000～100000になるはずです。HyperLifeは、Sm_A一定平均応力直線に沿った応力振幅に関するlog(1000)とlog(100000)を線形補間し、点AにおけるlogN_Aを決定します。logN_Aが決定されたら、寿命（N_A）と対応する損傷を決定できます。

ケースB

点（平均応力、応力振幅）がすべてのHaigh図の上または下に配置されている場合は、その点の寿命が2つの最大曲線または2つの最小曲線の外挿によって計算されます。Figure 21内の例では、log(1000)とlog(100000)がSm_B一定平均応力直線に沿った応力振幅に関して外挿されます。

ケースC

このケースでは、点5と点6における応力振幅が外挿から計算される可能性があります。2つの点で応力振幅が使用できるようになったら、ケースAで説明した手順が適用されます。

線形損傷総和則は、周期疲労荷重による損傷の加算で荷重順序の効果を考慮しません。しかしながら、多くの応用でうまく機能することが実証されてきています。

平均応力補正を適用した場合の安全係数(SF)は、次式で与えられます。

平均応力 = 一定

1. GoodmanまたはSoderberg

   SN曲線が応力比R=-1の曲線の場合

   (20) $$SF=\frac{s}{{\sigma }_a}=\frac{s_e}{{\sigma }_{a_0}}$$

   $$s_e$$ = 修正されたSN曲線からの目標寿命に対する目標応力振幅

   $${\sigma }_{a_0}$$ = 平均応力補正後の応力振幅

   
   
   Figure 22.

   SN曲線が応力比R!=-1の曲線の場合

   
   
   Figure 23.

   $${\sigma }_a$$ =応力振幅

   $${\sigma }_m$$ =平均応力

   $$S_{e-R}$$ =R比を持つSN曲線から取得された耐久限界

   $$S_{e-m}$$ =$$S_{e-R}$$に対応する平均応力

   $${}_{R>-1}$$の場合、 $s_e=\frac{S_{e-R}}{1-\frac{s_{m-R}}{UTS}}$

   (21) $s_{m-R}=S_{e-R}. \frac{1+R}{1-R}$

   $${}_{R<-1}$$の場合、 $S_e=S_{e-R}$

   $${\sigma }_m{}_{>0}$$の場合、 $s_a=\frac{{\sigma }_a}{1-\frac{{\sigma }_m}{UTS}}$

   $${\sigma }_m{}_{\le 0}$$の場合、 $s_a={\sigma }_a$(22) $SF= \frac{S_e}{S_a}$
2. Gerber
   (23) $$SF=\frac{s}{{\sigma }_a}=\frac{s_e}{{\sigma }_{a_0}}$$

   
   
   Figure 24.

   SN曲線が応力比R!=-1の曲線の場合

   
   
   Figure 25.

   (24) $S_a={\sigma }_a\cdot \left(1-{\left(\frac{{\sigma }_m}{UTS}\right)}^2\right)$ (25) $S_e=S_{e-R}\cdot \left(1-{\left(\frac{s_{m-R}}{UTS}\right)}^2\right)$ (26) $s_{m-R}=S_{e-R}. \frac{1+R}{1-R}$ (27) $SF= \frac{S_e}{S_a}$
3. Gerber2
   1. (28) $$\begin{array}{l}{\sigma }_m>0:\\ SF=\frac{s}{{\sigma }_a}=\frac{s_e}{{\sigma }_{a_0}}\end{array}$$
   2. (29) $$\begin{array}{l}{\sigma }_m\le 0:\\ SF=\frac{s}{{\sigma }_a}\end{array}$$

   SN曲線が応力比R!=-1の曲線の場合

   $$R>-1$$の場合、(30) $S_e=S_{e-R}\cdot \left(1-{\left(\frac{s_{m-R}}{UTS}\right)}^2\right)$ (31) $s_{m-R}=S_{e-R}. \frac{1+R}{1-R}$

   $$R<-1$$の場合、 $S_e=S_{e-R}$

   $${\sigma }_m{}_{>0}$$の場合、 $S_a={\sigma }_a\left(1-{\left(\frac{{\sigma }_m}{UTS}\right)}^2\right)$

   $${\sigma }_m{}_{\le 0}$$の場合、 $s_a={\sigma }_a$(32) $SF= \frac{S_e}{S_a}$
4. FKM
   (33) $$SF=\frac{s{\text{'}}_e}{{\sigma }_a}$$

   1. (34) $$\begin{array}{l}{\sigma }_m<\frac{-s_e}{1-m_2}\\ s{\text{'}}_e=-m,\left({\sigma }_m+\frac{s_e}{1-m_2}\right)+\frac{s_e}{1-m_2}\end{array}$$
   2. (35) $$\begin{array}{l}\frac{-s_e}{1-m_2}\le {\sigma }_m<\frac{s_e}{1+m_2}\\ s{\text{'}}_e=-m_2{\sigma }_m+s_e\end{array}$$
   3. (36) $$\begin{array}{l}\frac{s_e}{1+m_2}\le {\sigma }_m<\frac{3(1+m_3)}{1+3m_3}·\frac{s_e}{1+m_2}\\ s{\text{'}}_e=-m_3\left({\sigma }_m-\frac{s_e}{1+m_2}\right)+\frac{s_e}{1+m_2}\end{array}$$
   4. (37) $$\begin{array}{l}\frac{3(1+m_3)}{1+3m_3}·\frac{s_e}{1+m_2}\le {\sigma }_m\\ s{\text{'}}_e=-m_4\left({\sigma }_m-\frac{3(1+m_3)}{1+3m_3}·\frac{s_e}{1+m_2}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{3(1+m_2)}{1+3m_3}·\frac{s_e}{1+m_2}\right)\end{array}$$

   
   
   Figure 26.

5. 平均応力補正なし
   (38) $$SF=\frac{s_e}{{\sigma }_a}$$

応力比 = 一定

1. Goodman

   SN曲線が応力比R=-1の曲線の場合

   (39) $$SF=\frac{OB}{OA}=\frac{1}{\left(\frac{{\sigma }_a}{s_e}+\frac{{\sigma }_m}{UTS}\right)}$$

   
   
   Figure 27.

   SN曲線が応力比R!=-1の曲線の場合

   $$R>-1$$の場合、 $s_e=\frac{S_{e-R}}{1-\frac{s_{m-R}}{UTS}}$(40) $s_{m-R}=S_{e-R}. \frac{1+R}{1-R}$

   $$R<-1$$の場合、 $s_e=S_{e-R}$

   $${\sigma }_m{}_{>0}$$の場合、 $SF=\frac{1}{\frac{{\sigma }_a}{S_e}+\frac{{\sigma }_m}{UTS}}$

   $${\sigma }_m{}_{\le 0}$$の場合、 $SF= \frac{S_e}{{\sigma }_a}$

2. Gerber

   SN曲線が応力比R=-1の曲線の場合

   1. (41) $$\begin{array}{l}\text{If}{\sigma }_m=0:\\ SF=\frac{s_e}{{\sigma }_a}\end{array}$$
   2. (42) $$\begin{array}{l}\text{If}{\sigma }_m\ne 0:\\ SF=\frac{1}{2}{\left(\frac{UTS}{{\sigma }_m}\right)}^2·\frac{{\sigma }_a}{s_e}\left[-1+\sqrt{1+{\left(\frac{2s_e{\sigma }_m}{UTS\cdot {\sigma }_a}\right)}^2}\right]\end{array}$$
   SN曲線が応力比R!=-1の曲線の場合(43) $S_e=S_{e-R}\left(1-{\left(\frac{S_{m-R}}{UTS}\right)}^2\right)$ (44) $s_{m-R}=S_{e-R}. \frac{1+R}{1-R}$

   $${\sigma }_m{}_{\ne 0}$$の場合、 $SF=\frac{1}{2}{\left(\frac{UTS}{{\sigma }_m}\right)}^2\cdot \frac{{\sigma }_e}{S_e}\cdot \left(-1+\sqrt{1+{\left(\frac{2{\sigma }_m{S}_e}{UTS{\sigma }_a}\right)}^2}\right)$

   $${\sigma }_m{}_{=0}$$の場合、 $SF= \frac{S_e}{{\sigma }_a}$

3. Gerber2
   1. (45) $$\begin{array}{l}\text{If }{\sigma }_m\le 0:\\ SF=\frac{s_e}{{\sigma }_a}\end{array}$$
   2. (46) $$\begin{array}{l}\text{If}{\sigma }_m\ge 0:\\ SF=\frac{1}{2}{\left(\frac{UTS}{{\sigma }_m}\right)}^2·\frac{{\sigma }_a}{s_e}\left[-1+\sqrt{1+{\left(\frac{2s_e{\sigma }_m}{UTS\cdot {\sigma }_a}\right)}^2}\right]\end{array}$$

   SN曲線が応力比R!=-1の曲線の場合

   $$R>-1$$の場合(47) $S_e=S_{e-R}\cdot \left(1-{\left(\frac{s_{m-R}}{UTS}\right)}^2\right)$ (48) $s_{m-R}=S_{e-R}. \frac{1+R}{1-R}$

   $$R<-1$$の場合、 $S_e=S_{e-R}$

   $${\sigma }_m{}_{>0}$$の場合、 $SF=\frac{1}{2}{\left(\frac{UTS}{{\sigma }_m}\right)}^2\cdot \frac{{\sigma }_a}{S_e}\cdot \left(-1+\sqrt{1+{\left(\frac{2{\sigma }_m{S}_e}{UTS{\sigma }_a}\right)}^2}\right)$

   $${\sigma }_m{}_{\le 0}$$の場合、 $SF= \frac{S_e}{{\sigma }_a}$

4. FKM
   (49) $$SF=\frac{s_e}{{\sigma }_{a_0}}$$

   $${\sigma }_{a_0}$$ = 定数R平均応力補正において修正された応力振幅

5. 平均応力補正なし
   (50) $$SF=\frac{s_e}{s_a}$$
6. Interpolate

   複数平均を使用した安全係数

   安全係数を計算するために、HyperLifeは、複数平均SN曲線を使用して、目標寿命で応力振幅と平均応力のペアを見つけることによって目標寿命の内部Haigh図を作成します。内部で作成されたHaigh図を使用して、HyperLifeは、「Haigh図」の章の「安全係数」の項で説明されているように、安全係数を計算します。Haigh図のデータ点の数は曲線の数です。そのため、曲線の数が多いほど、良い結果が得られます。Haigh図で平均応力範囲で利用できない場合は、HyperLifeがHaigh図を外挿します。

   
   
   Figure 28. 複数平均曲線からHaigh図への変換

   複数比を使用した安全係数

   安全係数を計算するために、HyperLifeは、複数平均SN曲線を使用して、目標寿命で応力振幅と平均応力のペアを見つけることによって目標寿命の内部Haigh図を作成します。Haigh図のデータ点の数は曲線の数です。そのため、曲線の数が多いほど、良い結果が得られます。Haigh図で平均応力範囲で利用できない場合は、HyperLifeがHaigh図を外挿します。

   
   
   Figure 29. 複数平均曲線からHaigh図への変換

   Haighを使用した安全係数

   安全係数（SF）は、Figure 30で次のように計算されます。

   
   
   Figure 30.

   目標寿命が100000の場合：

   • 定数R： SF = OB/OA
   • 定数平均： SF = OD/OC

   目標寿命のHaigh図が定義されていない場合は、HyperLifeが目標寿命のHaigh図を作成します。Figure 30で、目標寿命が10000で、N=10000の場合のHaighが定義されていない場合は、HyperLifeが安全係数を計算するための破線曲線を作成します。

安全係数（SF）は、Figure 33で次のように計算されます。

Figure 33.

目標寿命のHaigh図がユーザーによって定義されていない場合は、HyperLifeが目標寿命のHaigh図を作成します。Figure 33で、目標寿命が10000で、N=10000の場合のHaighが定義されていない場合は、HyperLifeが安全係数を計算するための破線曲線を作成します。