Outil d'identification pour le modèle de Bertotti modifié

Introduction

Ce document présente l'outil d'identification des paramètres pour le modèle de Bertotti modifié disponible dans Flux. Cet outil est fourni à l'utilisateur sous forme de fichier Microsoft Excel et utilise des mesures de pertes fer pour déterminer les coefficients et les exposants de ce modèle qui correspondent aux mieux à l'ensemble des mesures. L'identification de ces paramètres est nécessaire pour créer un matériau ayant un modèle de Bertotti modifié pour les calculs de pertes de fer dans Flux.

Les sujets suivants seront traités dans les sections ci-dessous :

comment accéder à l'outil d'identification pour le modèle de Bertotti modifié dans le répertoire d'installation de Flux ;
un rappel sur le modèle de Bertotti modifié pour les calculs de pertes de fer dans Flux ;
l'identification des coefficients et exposants implantés dans l'outil ;
comment utiliser l'outil d'identification.

Emplacement de l'outil d'identification

L'outil d'identification pour le modèle de Bertotti modifié est disponible au chemin suivant :

DOSSIER_INSTALLATION\Flux\DocExamples\Tools\BertottiLossesCoefficients

dans lequel DOSSIER_INSTALLATION représente le dossier d’installation de Flux sur la machine.

Afin de lancer l'outil d'identification pour le modèle de Bertotti modifié, ouvrir le fichier BertottiLossesCoefficients.xls.

Le modèle de Bertotti modifié

Le modèle de Bertotti modifié implémenté dans Flux sépare les pertes fer en trois parties différentes : les pertes par hystérésis, les pertes par courants induits et les pertes en excès détaillées dans l'équation suivante :

$d P = k_{1} B_{m a x}^{α_{1}} f + {k_{2} {(B}_{m a x} f)}^{α_{2}} + {k_{3} {(B}_{m a x} f)}^{α_{3}}$

Flux utilise l'expression ci-dessus pour évaluer la densité de puissance dans les applications magnéto-harmoniques. Dans cette équation :

dP représente la densité de pertes volumique (W/m³);
k₁ est le coefficient de pertes par hystérésis ;
k₂ est le coefficient de pertes classiques ;
k₃ est le coefficient de pertes en excès ;
α₁ est l'exposant des pertes par hystérésis ;
α₂ est l'exposant des pertes par courants de Foucault ;
α₃ est l'exposant des pertes supplémentaires ou en excès ;
f est la fréquence (Hz) ;
B_max est l'induction maximale atteinte sur une période électrique (T).

Données d'entrée

La Table 1 contient un exemple de mesures de pertes fer données par un fournisseur d'aciers magnétiques. Ces mesures sont réalisées sur un cadre Epstein en imposant une induction sinusoïdale sur le matériau.

Table 1. Pertes fer mesurées pour plusieurs fréquences à plusieurs inductions.
B_max(T)	Pertes à 50 Hz (W/kg)	Pertes à 100 Hz (W/kg)	Pertes à 200 Hz (W/kg)	Pertes à 2500 Hz (W/kg)
0.1	0.05	0.04	0.08	3.89
0.2	0.06	0.14	0.32	14.3
0.3	0.11	0.30	0.73	29.6
0.4	0.20	0.49	1.21	50.2
0.5	0.23	0.71	1.78	76.7
0.6	0.38	0.97	2.44	110
0.7	0.50	1.25	3.19	153
0.8	0.62	1.57	4.03	205
0.9	0.77	1.92	4.97	270
1.0	0.92	2.31	6.01	349
1.1	1.10	2.75	7.19
1.2	1.31	3.26	8.54
1.3	1.56	3.88	10.1
1.4	1.92	4.67	12.2
1.5	2.25	5.54	14.4
1.6	2.53
1.7	2.75
1.8	2.94

En termes de format, les données requises pour l'identification sont similaires à la Table 1. C'est une liste de triplets (B_max, L, f) avec l’induction maximum B_max (en T), les pertes L (en W/kg) et la fréquence f (en Hz). Il faut également préciser la densité volumique du matériau ρ (en kg/m³).

Le but de cette identification est de trouver les exposants (α₁, α₂, α₃) et coefficients (k₁, k₂, k₃) qui correspondent au mieux aux données d'entrées vues précédemment.

Note: Le format de données d'entrée décrit ci-dessus suppose un fonctionnement en régime permanent sinusoïdal à chaque fréquence. Cependant, les paramètres (k₁, k₂, k₃) et (α₁, α₂, α₃) identifiés par l'outil sont valables à la fois pour les applications magnéto-harmoniques et magnétique transitoires dans Flux.

Identification des coefficients

Pour déterminer les coefficients (k₁, k₂, k₃) et les exposants (α₁, α₂, α₃) du modèle de Bertotti modifié pour un jeu de mesures, l'outil d'identification utilise une minimisation de la somme des moindres carrés pondérés.

Soit r_ij le résidu entre les mesures m_ij et les résultats du modèle b_ij = dP(k₁, k₂, k₃, α₁, α₂, α₃, Bmax_i , f_j ) / ρ , évalué à une fréquence f_j . Le résidu est calculé avec l'expression suivante :

r_ij = (m_ij - b_ij)².

L'outil d'identification utilise un point initial pour les paramètres (k₁, k₂, k₃, α₁, α₂, α₃) et le solveur GRG non-linéaire d'Excel (complément à télécharger pour Excel) minimise la somme des résidus pondérés :

R = Σ_j { w_j Σ_i [ r_ij ] },

dans laquelle w_j sont les poids attribués à chaque fréquence du jeu de mesures. Les paramètres et les poids sont contraints de prendre des valeurs supérieures ou égales à zéro.

Comment utiliser l'outil d'identification du modèle de Bertotti modifié

Comme vu précédemment, cet outil est livré sous la forme d'un fichier Excel. Ce fichier contient quatre feuilles :

Identification Tool: une feuille vide où les mesures peuvent être renseignées.
Single Frequency Example: un exemple d'identification pour une seule fréquence.
Multi-Frequency Example: un exemple d'identification pour plusieurs fréquences.

Les étapes suivantes sont celles à suivre afin d'identifier les coefficients k1, k2, k3 et les exposants α1, α2, α3 dans la feuille Identification Tool :

Remplir le tableau "Measured Losses" avec des mesures réalisées à une ou plusieurs fréquences
Ajuster les poids pour chaque fréquence dans l'intervalle des cellules C48:H48
Renseigner la densité du matériau dans la cellule M5
Donner un point de départ pour les coefficients et exposants dans l'intervalle des cellules M11:M16
Ouvrir le menu du solveur Excel : [Données] → [Solveur] (requiert l'activation du composant "Solveur" d'Excel)
Configuration du solveur Excel :
- Placer le champ "Objectif à définir" sur la cellule $L$19
- Choisir l'option "Min"
- Renseigner les "Cellules variables" à $M$11:$M$16
- Remplir les "Contraintes" avec $M$11:$M$16 >= 0
- Choisir le solveur "GRG non linéaire"
- Cliquer sur résoudre
Les coefficients et exposants identifiés sont disponibles dans le tableau "Modified Bertotti Model Parameters"
Vérifier les courbes en comparant les résultats sur les mesures

Note: L'utilisateur peut augmenter ou diminuer l'impact d'une fréquence en jouant sur les poids associés aux fréquences. Lorsque l'un des poids est mis à zéro, la fréquence correspondante n'est pas prise en compte dans l'identification.

Note: Il peut être intéressant d'ajuster les poids associés aux fréquences par itération en les modifiant petit à petit afin de converger vers une solution satisfaisante.

Pour plus d'informations :

Calcul des pertes fer