理论背景

SimSolid 的理论背景及其软件实现流程，并对传统有限元分析中使用的其他方法进行了比较。

初步研究综述

20 世纪初发明的用来近似求解边值问题的 Ritz-Galerkin 方法假定近似解的函数是定义在整个目标域上的解析函数。在实际应用中，这些函数要么是三角函数，要么是无限平滑的多项式，即它们有无穷多个导数。这些函数有两个主要问题。首先，很难或不可能构建在任意区域的边界上构造先验满足基本边界条件的函数（在结构分析中，这些条件表现为位移约束）。其次，建立在这些函数上的方程系统质量差，数值不稳定，不能足够精确地解决现实生活中的问题。

20 世纪 50 年代出现的有限元方法 (FEM) 只是经典 Ritz-Galerkin 方法的不同实现方式，但它成功地解决了约束和数值不稳定的问题，因为它一致地使用具有局部支撑的函数，称为有限元。虽然有限元的基函数在局部是无穷可微的标准多项式，但由局部多项式组合而成的整体基函数根本不平滑，甚至其一阶导数也不连续。有限元的成功证明了对逼近函数连续性的要求必须在一定程度上得到满足，只要将其代入边值问题的能量泛函，就足以提供有限的能量。这类函数的空间是由 Sobolev 在 20 世纪 30 年代提出并研究的。

放宽逼近函数连续性要求的下一步是引入外部逼近的概念[Equation 1]。在以下上下文中使用了“外部”这个名称。当逼近函数属于有限能量函数的 Sobolev 空间时，这种逼近被称为“内部”，这意味着当逼近被细化，并且求解收敛到精确求解时，逼近函数始终在 Sobolev 空间内部。或者，在外部逼近中，逼近函数在每个细化步骤中都不属于 Sobolev 空间（它们具有无穷大的能量），但在极限中，当自由度 (DOF) 趋于无穷大时，极限函数必须属于相应的 Sobolev 空间，即它必须恢复必要的光滑属性。外部逼近的抽象理论在参考文献 [Equation 2] 中得到了发展。

SimSolid 的技术基础已在参考文献 [3] 中发表。它发展了外部近似的抽象理论。在参考文献 [2] 中，它被应用于假设单元是绝对任意形状的情况下的有限单元逼近的特殊情况。在该成果中，已经建立了有限元外部逼近的必要和充分条件，并证明了收敛定理。研究还表明，这些定理是建设性的，也就是说，它们不仅定义了外部逼近的标志，而且还提供了建立这些标志的机制。

理论背景

将抽象边值问题表述为求函数

U

满足方程：(1)

A U = h inside the domain Ω

(2)

L U = g at the domain boundary Γ

其中

A

和

L

是微分算子。

一些边值问题同样可以表述为变分形式，例如求一个函数 $U$ ，它在最小值处提供了一个泛函 $F (U)$ ，其中泛函 $F (U)$ 通常为能量泛函。

1908 年 W.Ritz 提出了一种用某些基函数的线性组合来逼近边值问题的近似解的方法(3)

U_{h} = \sum_{i}^{n} a_{i} p_{i}

其中

a_{i}

是未知因子，

p_{i}

是基础逼近函数。

因子

a_{i}

是通过最小化能量泛函得到的。(4)

F (\sum_{i}^{n} a_{i} p_{i}) = \min

如果边值问题是线性的，则最小化问题(Equation 4)可以归结为关于该因子的线性代数方程组

a_{i}

(5)

K d = f

这里 K 是对称矩阵，d 是未知因子的向量，f 是系统的右手边。

在有限元中，矩阵 K 被称为刚度矩阵，向量 f 被称为载荷向量，因子 $a_{i}$ 被称为自由度。

1915 年，Galerkin 提出了另一种近似求解边值问题的方法。 (Equation 1)-(Equation 2)。根据 Galerkin 方法，未知解 U 近似为(6)

U_{n} = U_{0} + \sum_{i}^{n} a_{i} p_{i}

其中 $U_{0}$ 是满足非齐次边界条件的某个函数 (Equation 2)， $p_{i}$ 是满足齐次边界条件的解析逼近函数， $a_{i}$ 是未知因子。

将(Equation 6)替换为(Equation 1)会产生残差(7)

R = A U_{0} + \sum_{i}^{n} a_{i} A p_{i} - h

从方程组中求出未知因子

a_{i}

(8)

\int_{Ω} R p_{i} d Ω = 0

如果边值问题是线性的，则系统(Equation 8)是线性代数方程组。

Galerkin 方法不使用边值问题的变分形式。因此，它的适用性要广泛得多。

Ritz 和 Galerkin 方法被证明是解决工程和科学问题的有效手段。与此同时，泛函分析作为一门数学学科的引入解决了对这些方法进行数学论证所面临的重大困难。

Ritz-Galerkin 方法的现代理论是建立在弱边值问题表述概念的基础上的。边值问题的弱表述包括从相应的满足抽象变分方程的 Sobolev 空间

u \in V

找到一个函数(9)

a (u, v) = f (v) for any function v \in V

这里

V

是 Sobolev 空间的某个子空间

a (u, v)

通常是在下列空间乘积上连续的非对称双线性形式：

V \times V, f (v)

是

V

中的某种线性形式。

在结构分析中，Sobolev 空间是具有有限应变能的函数空间。

在 Ritz-Galerkin 方法中,将空间 $V$ 近似为有限维空间 $X_{h}$ ，并求出近似解的形式(Equation 3) 其中函数 $p_{i}$ 属于空间 $X_{h}$ 。因此，边值问题的离散化公式是：

找到能够满足以下公式的函数

U_{h} \in X_{h}

(10)

a (U_{h}, V_{h}) = f (V_{h}) for any function V_{h} \in X_{h}

将 (Equation 3) 代入(Equation 10) 会得到一个线性代数方程组，从该方程组中可以找到未知因子 $a_{i}$ 。

在经典的Ritz-Galerkin方法中， $X_{h}$ 是定义在整个域 $Ω$ 上的解析函数的空间，因子 $a_{i}$ 没有物理意义。在常规有限元方法中， $X_{h}$ 是分段多项式的空间，因子 $a_{i}$ 是有限元节点中函数 $U_{h}$ 的值。在结构分析中，它们是节点的位移。

人们已经发明了许多对 Ritz-Galerkin 方法的修改。它们的不同之处在于变分方程(Equation 9)和用于近似解的基函数类(Equation 3)。相同的边值问题可以有几个不同于空间 $V$ 的等价公式 (Equation 9)。

有限元的外部逼近

如前所述，内部有限元近似建立在属于相应 Sobolev 空间的函数上。这些函数必须满足单元间边界上的某些连续性条件。例如，当考虑二维或三维弹性理论问题时，有限元之间的函数必须连续。对于板弯曲问题，不仅函数必须是连续的，而且它们的一阶导数也必须是连续的。

连续性条件是相当严格的。只有用标准插值多项式作为有限元基函数的简单形状的有限元才能满足这些条件。多项式与单元节点相关联。为了提供单元间的相容性，相同的插值函数被用来表示有限单元的形状。在曲线边界的情况下，到规范单元的映射被用来提供相容性。有限元几何体和它们的逼近函数是紧密耦合的。

为了提高有限元的逼近质量，研究人员发明了不相容有限元。在不相容单元中，标准形状单元的插值基函数被其他多项式所充实。附加函数造成了跨单元间边界的不连续性，但是不相容的有限元通常比相容的单元提供更好的精度。这导致了收敛的数学证明的困难和结果的不一致。

有限元外部逼近的综合理论在参考文献 [Equation 3] 中得到了发展。在该理论中，“有限元”一词被用来表示域 $Ω$ 的任意形状的子域，因此有限元的定义不再局限于正则形状或通过映射从正则形状获得的其他形状。整个域 $Ω$ 可以被视为一个有限元，因此，对于装配来说，一个装配的零件可以是有限元术语中的一个“有限元”。另一个假设是有限元内部的逼近函数可以是任意的，不一定是多项式。唯一的要求是这些函数属于相应的 Sobolev 空间，因此它们需要在单元内足够平滑。

任务是找出根据上述假设建立的近似是外部近似的条件，即它们从 Sobolev 空间的“外部”收敛到边值问题的精确解。找到了提供外部逼近的充要条件。这个条件恰好是构建性的，它的表述也暗示了构建满足条件的有限元的方法。收敛定理和误差估算已被证明。

结果表明，有限元逼近是外部逼近的充要条件是：(11)

〈 δ, γ U 〉 = 0

这里 <,> 是定义在元素间边界上的某些函数空间中的对偶配对， $δ$ 和 $γ$ 是一些算子， $U$ 是定义在单元内部的逼近函数。

可以看出，条件 (Equation 11) 与边值问题 (BVP) 公式或边值问题的求解方法（Galerkin、Ritz、Trefftz 等）无关。它会对有限元基函数施加约束，保证极限逼近函数属于相应的 Sobolev 空间，从而具有必要的平滑性。

因此，即使在选择求解方法（Galerkin、Ritz 等）之前，也可以构造具有重要性质的有限元空间。这些属性可能只是“有好处”，例如，在解决弹性问题时，不需要使用满足体积平衡的函数，但它们可能是有用的，因为使用这样的函数可以提高精度并减少 DOF 的数量。其他属性可能是至关重要的，例如，只有无散度函数才能为不可压缩的材料提供无条件的稳定解。

于是，条件 (Equation 11) 可以通过连续性从二元对偶扩展到其他函数空间中的内积。(12)

(g, γ U) = 0

这里，

g

是定义在元素间边界上的函数，它们被称为边界函数。边界函数是曲面参数的函数，它们产生的边界 DOF 是边界函数对有限元基函数的乘积在有限元边界的积分:(13)

\int_{Γ} g_{k} γ U d Γ = 0

这里 $Γ$ 是有限元的边界， $g_{k}$ 是定义在有限元边界上的函数，而 $U$ 是单元上要逼近的函数（例如结构分析中的位移）。

作为比较，FEM 中的自由度是有限元的节点

i

中的函数

U

的值：(14)

U (x_{i}, y_{i}, z_{i})

表达式 (Equation 13) 中的函数 $g_{k}$ 是定义在单元边界上的函数的有限维空间 $G_{h}$ 的基函数。它们可以是任意的，唯一的要求是空间 $G_{h}$ 必须在边界函数空间中稠密，即它们必须能够在边界函数空间中收敛。在 $g_{k}$ 是定义在单元边界上的多项式或分段多项式的情况下，后者很容易实现。

泛函 (Equation 13) 称为边界自由度 (DOF)。它们没有物理意义，它们表示当边界自由度数收敛到无穷大时，有限元空间相容的逼近函数。边界自由度负责满足单元间连续性条件和基本边界条件。在自适应求解中，自动管理边界自由度的数量以满足收敛标准。

边界自由度 (Equation 13) 不是构建外部逼近时生成的唯一自由度。其他自由度称为内部自由度，因为它们与单元体积相关联。内部自由度是在建立有限元内的解的近似时自动定义的。最后，单元上函数的近似值如下所示：(15)

U_{h} = \sum_{i}^{n} a_{i} (U) p_{i} + \sum_{k}^{N} (\int_{Γ} g_{k} γ U d Γ) p_{k}

这里 $a_{i}$ 单元的内自由度（某些因子）， $p_{i}$ 是内自由度的基函数， $\int_{Γ} g_{k} γ U d Γ$ 是边界自由度， $p_{k}$ 是边界自由度的基函数。

基函数 $p_{i}$ 和 $p_{k}$ 构成有限元逼近函数的有限维空间 $P$ 。事实证明，为了实现收敛，空间 $P$ 必须是完整的，例如，对于多项式空间，它应该包含分配给自适应迭代的所有达到一定程度的多项式。

有限元的基函数不是预定义的，因为该单元具有任意形状。它们是在求解运行期间动态构建的。在自适应通道处预定义的是单元的逼近函数的整个空间

P

。在自适应通道中构建单元的基函数的算法如下：

定义了一组边界函数 $g_{k}$ ；
一个完整的单元逼近函数空间 $P$ 是通过选择一个完整的泛型基函数集来定义的。在多项式空间的情况下，指定了某一程度的多项式的完整空间。例如，3D 问题的泛型二次多项式为：
- ${1, x, y, z, x^{2}, x y, y^{2}, x z, z^{2}, y z}$
在计算子域的刚度矩阵时，在求解过程中自动生成每个子域的泛型基函数；
基函数 $p_{i}$ 和 $p_{k}$ 是通过求解某一线性代数方程组自动求出的。

在求出单元的基函数后，通过积分单元体积上的能量和单元边界上的载荷，采用与传统有限元相同的方法计算单元刚度矩阵和载荷向量。

几何体函数解耦

几何体函数解耦是 SimSolid 技术的核心特征。从上面可以看出，任意单元的基函数是在求解过程中由泛型基函数动态构建的。在构建泛型函数时既不使用单元几何体表示，也不使用函数指定单元的形状。对单元逼近函数的空间 $P$ 的唯一要求是 $P$ 必须是相应的与边值问题的表述相关的 Sobolev 空间的子空间。因此，泛型基函数的任何组合都是允许的，只要它们是线性独立的。

事实证明，几何体函数解耦是一个关键特征，它提供了更好的性能，更好的精度，更强的鲁棒性，更少的计算机资源，和更少的建模误差。在为特定问题找到准确的解，或管理适应性求解时，可以实现以下实质性的好处：

可以建立特殊的近似，使边值问题的近似解无条件稳定。例如，当模拟由不可压缩材料制成的零件时，SimSolid 会使用完全满足不可压缩条件的无散度函数。下面是一些泛型三次无离散度 3D 函数的示例，其中 $(u, v, w)$ 是位移分量：
- $\begin{array}{l} u = - x z^{2}, v = y z^{2}, w = 0 \\ u = - 3 x z^{2}, v = 0, w = z^{3} \\ u = - 2 x y z, v = y^{2} z, w = 0 \\ u = - x y z, v = 0, w = y z^{2} \\ u = - x y^{2}, v = 0, w = y^{2} z \end{array}$
相邻部分可以具有不同类别的逼近函数。例如，如果装配包含由可压缩和不可压缩材料（橡胶插入物或带有液体的空腔）制成的零件，则不可压缩材料的逼近函数被构建为特殊的无散度函数。对于具有可压缩材料的相邻部分，使用标准多项式之类的正则函数。
使用先验满足边值问题控制方程的基函数总是可能的，这样可以提供更好的精度并减少自由度。例如，使用相应控制方程的完整多项式解来解决热弹性问题：(16)
$\begin{array}{l} (λ + μ) \frac{\partial ε}{\partial x} + μ Δ μ = \frac{α Ε}{1 - 2 v} \frac{\partial T}{\partial x} \\ (λ + μ) \frac{\partial ε}{\partial y} + μ Δ μ = \frac{α Ε}{1 - 2 v} \frac{\partial T}{\partial y} \\ (λ + μ) \frac{\partial ε}{\partial z} + μ Δ μ = \frac{α Ε}{1 - 2 v} \frac{\partial T}{\partial z} \end{array}$

here $(u, v, w)$ are displacement components,

$\begin{matrix} ε = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} \\ λ = \frac{E v}{(1 + v) (1 - 2 v)}, μ = \frac{E}{2 (1 + v)} \\ Δ = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} \end{matrix}$
此外， $α$ 是热膨胀系数， $E$ 是杨氏模量， $v$ 是泊松比， $T$ 是温度场。方程组 (Equation 16) 是非齐次的。例如，当：
$E = 1, v = 0.25, α = 1$
温度场用单项式描述时：
$T = a x^{m} y^{n} z^{p}$
，a=1、m=0、n=2、p=3 的非齐次问题的解为：(17)
$u = 0, v = 0.1667 y z^{5}, w = 0.4167 y^{2} z^{4} - 0.02778 z^{6}$
下面是齐次方程 (14) 的多项式解的示例：(18)
$u = 20 x^{4} z - 20 x^{2} z^{3}, v = 20 x^{4} y z - 20 x y z^{3}, w = 8 x^{5} - 60 x^{3} z^{2}$

在求解热弹性问题时，从热分析中引入温度 $T$ 的多项式近似，对每个单元生成类型函数 (Equation 17)，利用类型泛型函数 (Equation 18) 构建单元基函数。

对于传热问题，采用谐波多项式作为基函数，精确地满足相应的传热方程。下面是一些 3 次泛型调和函数：
$\begin{array}{l} f = x^{3} - 3 x z^{2} \\ f = x^{2} y - y z^{2} \\ f = x y^{2} - x z^{2} \\ f = y^{3} - 3 y z^{2} \\ f = 3 x z^{2} - z^{3} \end{array}$
近似始终构建在物理坐标空间中，而不映射到标准形状。因此，泛型基函数的属性在整个求解过程中保持不变，从而消除了大量近似误差的来源。
一组完整的基函数通常用于逼近子域上的解。完整性意味着在一定程度上没有函数缺失。例如，如果用 5 次谐波多项式逼近解，则所有 5 次谐波泛型多项式都包含在子域的逼近空间中。这提供了高精度，易于在全局和局部构建 p-自适应求解，以及易于实现新类型的特定于问题的基函数。
几何体函数解耦允许有效地处理在尺寸和形状上不可比拟的几何体零件的装配（多尺度装配）。
局部效应，如集中力、裂纹、应力集中等，可以通过丰富具有与特征相关联的特征的特殊函数的子域的近似空间来轻松模拟。