FluxにおけるPreisachタイプのモデルの特性を持つヒステリシス等方性材料

概要

本章では、Fluxプロジェクトにおいて、

  • Isotropic hysteretic, Preisach model described by 4 parameters of a typical cycleと
  • Isotropic hysteretic, Preisach model identified by N triplets

のタイプのB(H)特性を持つ材料を作成する方法について説明します。

この種のB(H)特性を持つ材料はPreisachタイプのモデルを実装します。これによって、プロジェクト解析時であっても強磁性ヒステリシス現象を考慮できるようになります。その結果、強磁性材料全体の鉄損について、LSモデルやBertottiモデルなどのいわゆる帰納的手法とは対照的な、直接的または演繹的な評価が可能になります。

以降の各項では、以下の各トピックについて説明します：

FluxにおけるPreisachタイプのヒステリシスモデル

Preisachモデルは、ヒステリシス挙動の特性を持つ物理システムを表すために使用される数学的ツールです。こうしたシステムでは、出力量のみが入力の関数ではありません： 特定の時間の状態もそれまでの入力と出力の履歴によって異なります。経時変化する磁界強度H(t)にさらされる強磁性試料の磁束密度B間の非線形関係B(H)は、Preisachタイプのモデルでその挙動を表すことができるヒステリシスシステムの一例です。

Preisachタイプのモデルは、ヒステロンと呼ばれる基本エンティティを利用して解釈できます。強磁性ヒステリシスのコンテキストでは、各ヒステロンを“電磁リレー”γα,β(H)と見なすことができます。これは、その入力磁界強度Hに応じて2つの磁化状態のみを示すことができます（図 1（a））。入力H > αの場合、ヒステロンの磁性状態は、γα,β(H) = +1に切り替わります。一方、H < βの場合は、γα,β(H) = -1になります。さらに、各ヒステロンは、α≥βで与えられる直交半平面上のポイント(α,β)に関連付けられます（図 1（b））。

図 1. 1つのヒステロンの表現（a）と、特定の磁化状態にある強磁性試料のPreisach平面(α,β)の表現（b）。

結果的に、特定の磁気試料のヒステリシス挙動は、次の二重積分で表されるヒステロンの連続分布の効果の重ね合わせから生じることになります：

B(H) = ∫∫α≥β [ P(α,β) γα,β(H) ] dα dβ

この式で、関数P(α,β)（Preisach密度関数と呼ばれる）は強磁性試料の特性で、実験的な磁気測定値から特定する必要があります。

Fluxは、最適化された、ヒステリシスのベクトルPreisachタイプのモデルを実装しており、これによってプロジェクト内の強磁性材料の作成が大幅に簡素化されます。実際に、特定の試料のモデル同定に必要とされるのは、一般的なヒステリシスループに沿って実行される磁気測定のみであり、この予備段階でユーザーを支援するために2つのモデル同定ツールが提供されています。

さらに、Fluxで使用できるPreisachタイプのモデルは、前述の計算コストの高い二重積分の直接評価を時間ステップごとに何度も行うことを避けるために、同等のEverett関数に依存しており、計算時間の削減につなげています。

Fluxで実装されるベクトルPreisachタイプのモデルの包括的な説明については、本章の最後の参考資料の項にある参考資料をご参照ください。

FluxでのPreisachタイプのヒステリシスモデルによる材料の作成方法

Fluxで使用できるPreisachタイプのモデルは、作成時または変更時のいずれかで材料に割り当てることができます。

具体的に言うと、ユーザーは材料のB(H)特性をヒステリシス挙動を表す適切なサブタイプに設定し、Preisachモデルのパラメータを指定する必要があります。

この手順は次のとおりです：

  • まず、Fluxプロジェクトで材料を作成するか、既存の材料を編集します。これらのアクションを実行するには、2つの方法を使用できます：
    1. Physicsメニューを使用して、Materialオプションを選択し、NewまたはEditを選択します。
    2. メインプロジェクトビューの左側のFlux Data Treeを操作します。つまり、Physicsセクションで、Materialをダブルクリックすることで材料を新規作成するか、リスト内の既存の材料をダブルクリックして編集します。
    状況に応じて、FluxにNew MaterialウィンドウまたはEdit Materialウィンドウが表示されます。
  • このどちらのウィンドウでも、B(H)タブに表示されるMagnetic Propertyオプションを有効にします。
  • 次に、Preisachタイプのモデルを記述するために、次の2つの方法のいずれかをドロップダウンメニューから選択します。使用可能なオプションは次の2つです：
    • Isotropic hysteretic, Preisach model described by 4 parameters of a typical cycleと
    • Isotropic hysteretic, Preisach model identified by N triplets。
Isotropic hysteretic, Preisach model described by 4 parameters of a typical cycleアプローチの場合、ユーザーは材料の一般的なヒステリシスサイクル（大部分の状況の主要なサイクル）に関する以下のパラメータを入力する必要があります：
  • 飽和磁化（テスラ単位で測定）
  • 残留磁束密度（テスラ単位で測定）
  • 保磁力（A/m単位で測定）
  • 一般的 / 主要なサイクルの 直角度係数（全体形状に関係し、0～10の間で変化する）
注: 特定の材料の一般的 / 主要なヒステリシスサイクルを表す測定データから上の4つのパラメータを取得できるように、同定ツールが提供されています。この同定ツールの詳細については、次のトピックをご参照ください：材料の同定。

一方、Isotropic hysteretic, Preisach model identified by N tripletsアプローチの場合は、3つの値の組み合わせ（ai 、bi 、ci）をN個含んだテーブルをユーザーが指定する必要があります。この3つの値はそれぞれテスラ、A/m、A/m単位で測定されます。

この3つの値（ai 、bi 、ci）は、次の関数のパラメータに対応します：

B d ( H ) =   μ 0 H +   ∑ i = 1 N a i   atan ⁡ H + c i b i
材料の主要なヒステリシスループの下向きの分岐を表すもの。これらの値は、最小二乗フィッティング手順を使用して測定データから取得できます。
注: 一連の(B,H)測定値からパラメータ（ai 、bi 、ci）を取得するために必要なデータフィッティング手順をユーザーが実行できるように、2つ目の同定ツールも提供されています。追加の同定ツールの詳細については、次のトピックをご参照ください：材料の同定。

可用性と制限事項

磁性材料のヒステリシス関係(B, H)のPreisachタイプのモデルは、Flux 2Dおよび3DのTransient Magneticアプリケーションのみで使用できます。

さらに、Preisachタイプのモデルを含む材料を割り当てできるのは、非導電性磁性領域とソリッド導体領域のみです。ソリッド導体領域の場合、材料にはJ(E)特性も求められ、そうした条件下でPreisachモデルは動力学的なヒステリシス効果も考慮するので、高周波数で損失が増加することになります。

Fluxで実装するPreisachタイプのモデルを使用する材料で特性付けられた領域を含むプロジェクトでは、以下の制限事項も確認する必要があります。
  • ファイルによる過渡初期化はまだサポートされていません。
  • 静的計算による過渡初期化はまだサポートされていません。
  • こうした領域への圧縮性メカニカルセットの割り当てはまだサポートされていません。

用途の例

次に、下の図 2に概略が示されている、よく知られたTEAM 32ベンチマーク問題について考えてみましょう。デバイスは、強磁性材料が使用されている二重給電、三脚のコアで構成されており、この強磁性材料のヒステリシス挙動をFlux 3Dを使用して調査したいと思います。

図 2. このFlux 3Dの例で検討するTEAM 32問題の二重給電の磁気回路の概略を示す2D表現。

回路に給電する電圧源は、周波数10Hzの正弦波電圧を適用します。これは励磁コイルと等しい14.5ボルトの振幅ですが、相互間に90oの位相のずれがあります。これにより、特定のデバイス位置（図 2に示された位置C1など）で回転磁束密度が確立します。この経時変化する磁束密度の数値計算は、Preisachモデルのベンチマーク問題として使用されることがあります。この特定の例の完全な説明（幾何学的寸法、追加の回路、材料データを含む）については、International Compumag Societyが管理しているTEAM problem repositoryをご参照ください。

Flux 3Dでは、磁気コアを非導電性磁性ボリューム領域で表すことができます。Transient Magneticアプリケーションでそのヒステリシス挙動を考慮するには、Isotropic hysteretic, Preisach model identified by N tripletsタイプのB(H)特性を持つ材料をこの領域に割り当てる必要があります。Fluxで提供される適切なPreisach同定ツールを使用すると、TEAM 32デバイスで使用される材料が、N = 2のデータフィッティングで次の3つの値（ai 、bi 、ci）に対応することを示せます：

表 1. 10Hzで飽和磁束密度が1.3Tである中心の対称(B,H)サイクルに対するTEAM 32問題のPreisach材料の3つの値。
i ai（T） bi（A/m） ci（A/m）
1 0.5043 11.08 59.37
2 0.4162 130.19 114.39

この2つの励磁コイルは、非メッシュ化コイル磁界源で都合よく表すことができます。これらは、連成電気回路でそれぞれに対応するコイル導体コンポーネントに接続された電圧源から給電されます。 図 3 Fluxでの結果の形状を示します。

図 3. Flux 3Dプロジェクトの無限ボックス内のTEAM 32問題のメッシュ化デバイス。

プロジェクトの解析後、スポットC1に配置されたセンサーを使用して、磁束密度の回転特性を確認できます（図 2を参照）。フィールドBおよびHのヒステリシス挙動も、デバイスの真ん中の位置（つまり、図 2に示す座標系の原点）に配置したセンサーを使用して確認できます。これらの結果を図 4に表示します。

図 4. 位置C1のサイクル間の回転磁束密度（a）と、磁気回路の真ん中位置のヒステリシスループ（b）。パート（b）は、3つの入力値（ai、bi、ci）の同定に使用される(B,H)測定値も示しています。

センサーは、特定の時間ステップでデバイスの磁気コアに吸収される合計磁力の計算にも使用できます。この場合、ユーザーはPredefinedタイプのセンサーを作成し、Magnetic Powerを選択し、コアを計算ドメインとして表す非導電性磁性ボリューム領域を使用して、計算を実行する必要があります。その結果を下の図 5に示します。

図 5. Flux 3Dで磁力センサーによって評価されるTEAM 32デバイスの磁気回路を表すボリューム領域によって吸収される磁力。

参考資料

Fluxで実装されるベクトルPreisachモデルの詳細については、以下の参考文献をご参照ください：

  • M. TOUSIGNANT, Modélisation de l’hystérésis et des courants de Foucault dans les circuits magnétiques par la méthode des éléments finis. PhD thesis (in French). Université Grenoble Alpes and Polytechnique Montréal, 2019. オンラインで入手可能：https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-02905410。
  • M. TOUSIGNANT, F. SIROIS, G. MEUNIER and C. GUERIN, Incorporation of a Vector Preisach–Mayergoyz Hysteresis Model in 3-D Finite Element Analysis, in IEEE Transactions on Magnetics, vol. 55, i. 6, March 2019, DOI: 10.1109/TMAG.2019.2900690.
  • M. TOUSIGANT, F. SIROIS and A. KEDOUS-LEBOUC, Identification of the Preisach Model parameters using only the major hysteresis loop and the initial magnetization curve, in 2016 IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation (CEFC), DOI: 10.1109/CEFC.2016.7816148.