/MAT/LAW116

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/UNIT/1
unit for mat
                  Mg                  mm                   s
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/MAT/LAW116/3/1
MAT_COHESIVE_MIXED_MODE_ELASTOPLASTIC_RATE
#              RHO_I
              1.2E-9
#                 E1                  E2               Thick     Imass      Idel    Icrit  
                3000                1000               0.200         2         1        0
#            GC1_INI             GC1_INF              SRATG1                 FG1
               2.000               3.000               1.500                 0.7
#            GC2_INI             GC2_INF              SRATG2                 FG2
                9.00                   0                   0                 0.4
#              SIGA1               SIGB1              SRATE1   Iorder1    Ifail1
               33.00               1.500          2.50000E-5         1         2
#              SIGA2               SIGB2              SRATE2   Iorder2    Ifail2
               26.00               1.300          1.00000E-5         1         2
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#enddata

1. 弾性剛性は次のように定義されます：

   
   
   図 1.

   ここで、

   GP

   一定応力下の塑性エネルギー

   GC

   全エネルギー

   $i$ ={I,II}

   モードI（法線）とモードII（せん断）

   引張分離則の形状は次のように定義されます：

   • 破壊エネルギーの比率によって定義される破壊基準（I_{fail_i}=1）(1)
     $$0\le f{G}_i=\frac{G{C}_i({\dot{\epsilon }}_{eq})}{G{C}_i({\dot{\epsilon }}_{eq})}<1-\frac{\sigma {\left({\dot{\epsilon }}_{eq}\right)}^2}{2G{C}_i({\dot{\epsilon }}_{eq})E_i}<1$$
   • 破壊変位の比率によって定義される破壊基準（I_{fail_i}=2）(2)
     $$0\le f{G}_i=\frac{{\delta }_{i2}-{\delta }_{i1}}{{\delta }_{if}-{\delta }_{i1}}<1$$
2. 降伏応力は次のように定義されます：
   • I_{order_i}=1の場合：(3)
     $$\sigma \left({\dot{\epsilon }}_{eq}\right)={\sigma }_{A\_i}+{\sigma }_{B\_i}.\left[\max \left(0,\ln \left(\frac{{\dot{\epsilon }}_{eq}}{{\dot{\epsilon }}_i}\right)\right)\right]$$
   • I_{order_i}=2の場合：(4)
     $$\sigma \left({\dot{\epsilon }}_{eq}\right)={\sigma }_{A\_i}+{\sigma }_{B\_i}.{\left[\max \left(0,\ln \left(\frac{{\dot{\epsilon }}_{eq}}{{\dot{\epsilon }}_i}\right)\right)\right]}^2$$

     ここで、 $i$ ={I,II}、モードIとモードII。

3. 相当ひずみ速度は次のように定義されます：(5)
   $${\dot{\epsilon }}_{eq}=\frac{\sqrt{{\dot{\text{Δ}}}^2{}_I+{\dot{\text{Δ}}}^2{}_{II}}}{Thick}$$
   ここで、

   ${\dot{\text{Δ}}}_I$

   法線速度。

   ${\dot{\text{Δ}}}_{II}$

   せん断速度。

4. 速度依存の破壊エネルギーは次のように定義されます：(6)
   $$G{C}_i({\dot{\epsilon }}_{eq})=G{C}_{i\_ini}+\left(G{C}_{i\_\inf }-G{C}_{i\_ini}\right).\exp \left(-\frac{{\dot{\epsilon }}_{G_i}}{{\dot{\epsilon }}_{eq}}\right)$$

   ここで、 $i$ ={I,II}、モードIとモードII。

5. 降伏応力と損傷則を以下に示します：

   
   
   図 2.

6. 2次公称応力に基づいた降伏と損傷の場合（Icrit=1）：
   • 混合モードの降伏開始変位は次のとおりです：(7)
     $${\delta }_{m1}={\delta }_{I1}{\delta }_{II1}.\sqrt{\frac{1+{\beta }^2}{{\delta }_{II1}^2+{(\beta .{\delta }_{I1})}^2}}$$
     ここで、

     ${\delta }_{i1}=\frac{{\sigma }_i}{E_i}$

     $i$ ={I,II}、モードIとモードII。

     $\beta =\frac{{\text{Δ}}_{II}}{{\text{Δ}}_I}$

   • 混合モードの損傷開始は次のとおりです：(8)
     $${\delta }_{m2}={\delta }_{I2}{\delta }_{II2}.\sqrt{\frac{1+{\beta }^2}{{\delta }_{II2}^2+{(\beta .{\delta }_{I2})}^2}}$$
     ここで、

     ${\delta }_{i2}={\delta }_{i1}+\frac{f{G}_i.G{C}_i}{{\sigma }_i}$

     $i$ ={I,II}、モードIとモードII。

7. 2次公称応力に基づいた降伏と損傷の場合（Icrit=2）。
   • 混合モードの降伏開始変位は次のとおりです：
     $\beta \le \frac{{\delta }_{II1}}{{\delta }_{I1}}$ の場合、(9)

     $${\delta }_{m1}={\delta }_{I1}.\sqrt{1+{\beta }^2}$$
     $\beta >\frac{{\delta }_{II1}}{{\delta }_{I1}}$ の場合、(10)

     $${\delta }_{m1}=\frac{{\delta }_{II1}}{\beta }.\sqrt{1+{\beta }^2}$$
     ここで、

     $\beta =\frac{{\text{Δ}}_{II}}{{\text{Δ}}_I}$

     ${\text{Δ}}_I$

     変位はモードI（法線）です。

     ${\text{Δ}}_{II}$

     変位はモードII（せん断）です。

   • 混合モードの損傷開始は次のとおりです：
     $\beta \le \frac{{\delta }_{II2}}{{\delta }_{I2}}$ の場合、(11)

     $${\delta }_{m2}={\delta }_{I2}.\sqrt{1+{\beta }^2}$$
     $\beta >\frac{{\delta }_{II2}}{{\delta }_{I2}}$ の場合、(12)

     $${\delta }_{m2}=\frac{{\delta }_{II2}}{\beta }.\sqrt{1+{\beta }^2}$$
8. 混合モードの最終損傷は次のとおりです（Icrit=1,2）：(13)
   $${\delta }_{mf}=\frac{{\delta }_{m1}.\left({\delta }_{m1}-{\delta }_{m2}\right)E_{I}G{C}_{II}{\cos }^2\gamma +G{C}_I.\left(2G{C}_{II}+{\delta }_{m1}.\left({\delta }_{m1}-{\delta }_{m2}\right)E_{II}{\sin }^2\gamma \right)}{{\delta }_{m1}\left(E_{I}G{C}_{II}{\cos }^2\gamma +E_{II}G{C}_I{\sin }^2\gamma \right)}$$
   ここで、

   $\gamma =\arccos (\frac{{\text{Δ}}_I}{{\text{Δ}}_m})$

   ${\text{Δ}}_m$

   変位は混合モードです。

9. 塑性ひずみは次のように定義されます：
   • モードI：(14)
     $$\text{Δ}{p}_I=\max \left(\text{Δ}{p}_I\left(t-1\right),\text{Δ}{p}_I-{\delta }_{m1}\cos \gamma ,0\right)$$

     ここで、 $\left(t-1\right)$ は前の時間ステップの値です。

   • モードII：

     次の場合； $\sqrt{{\left({\text{Δ}}_{II-1}-\text{Δ}{p}_{II-1}\left(t-1\right)\right)}^2+{\left({\text{Δ}}_{II-2}-\text{Δ}{p}_{II-2}\left(t-1\right)\right)}^2}>{\delta }_{m1}$

     せん断面内の方向1および2のそれぞれについて、塑性ひずみが計算されます。(15)

     $$\text{Δ}{p}_{II-1}=\text{Δ}{p}_{II-1}\left(t-1\right)+{\text{Δ}}_{II-1}-{\text{Δ}}_{II-1}\left(t-1\right)$$

     (16)

     $$\text{Δ}{p}_{II-2}=\text{Δ}{p}_{II-2}\left(t-1\right)+{\text{Δ}}_{II-2}-{\text{Δ}}_{II-2}\left(t-1\right)$$
10. 応力値は、損傷開始から最終損傷まで直線的に低減されます（ ${\text{Δ}}_m>{\delta }_{m2}$ ）。(17)
    $$D=\max \left(\frac{{\text{Δ}}_m-{\delta }_{m2}}{{\delta }_{mf}-{\delta }_{m2}},D(t-1),0\right)$$

    応力の低減は、法線方向では次のように計算されます：

    ${\text{Δ}}_I>\text{Δ}{p}_I$ の場合、 ${\sigma }_I=E_I\left({\text{Δ}}_I-\text{Δ}{p}_I\right)$ です。

    上記以外の場合は、 ${\sigma }_I=E_I\left(1-D\right)\left({\text{Δ}}_I-\text{Δ}{p}_I\right)$ です。

    せん断面内の方向1および2のそれぞれについて、次のようになります：(18)

    $${\sigma }_{II-1}=E_{II}\left(1-D\right)\left({\text{Δ}}_{II-1}-\text{Δ}{p}_{II-1}\right)$$

    (19)

    $${\sigma }_{II-2}=E_{II}\left(1-D\right)\left({\text{Δ}}_{II-2}-\text{Δ}{p}_{II-2}\right)$$
11. 結合要素は、${\text{Δ}}_m>{\delta }_{mf}$ の場合に削除されます。