表形式破壊モデル /FAIL/TAB1

Radiossでは、/FAIL/TAB1が延性材料用で最も洗練されたな破壊モデルです。破壊ひずみは、応力軸性、ひずみ速度、Lode角、要素サイズ、温度および不安定性ひずみの関数として定義できます。

損傷は、ユーザー定義の関数に基づいて累積されます。この破壊モデルの機能は、最も基本的な入力から始まり、最も複雑なオプション群まで説明されます。

塑性破壊ひずみ

/FAIL/JOHNSONや/FAIL/BIQUADと同様に、塑性破壊ひずみ

ε_{f}

を応力軸性

σ^{*}

の関数として表現する曲線を定義することが可能です。破壊ひずみ曲線が事前定義された方程式内のパラメータを使って定義される/FAIL/JOHNSONや/FAIL/BIQUADとは異なり、/FAIL/TAB1では任意の数の離散点を入力して、破壊ひずみ曲線を表す任意の関数を生成することができます。この曲線は、/TABLEエンティティを用いて定義され、table_ID₁で参照されます。この手法は、シェル要素とソリッド要素に使用できます。

例 /TABLE,dimension=1

破壊塑性-ひずみの入力vstable_ID₁を用いた軸性

/TABLE/1/4711
failure plastic-strain vs triaxiality 
#dimension
         1
#        Triaxiality      Failure_Strain     
             -0.7000              0.3386
             -0.6000              0.3068
             -0.5000              0.2794
             -0.4000              0.2558
             -0.3333              0.2419
             -0.3000              0.2355
             -0.2000              0.2180
             -0.1000              0.2029
              0.0000              0.1900
              0.1000              0.1789
              0.2000              0.1693
              0.3000              0.1610
              0.3333              0.1585
              0.4000              0.1539
              0.5000              0.1478
              0.6000              0.1425
              0.7000              0.1380

ひずみ速度依存

/FAIL/TAB1は、材料破壊にひずみ速度の影響を含めることも可能です。この場合、1つ目の次元は破壊曲線の関数ID、2つ目の次元は破壊曲線が適用されるひずみ速度であるよう/TABLEを定義する必要があります。

例 /TABLE,dimension=2

/TABLE/1/4711
failure plastic-strain vs triaxiality and strain rate
#dimension
         2
#   FCT_ID                   strain_rate  
      3000                          1E-4  
      3001                           0.1 
      3002                           1.0  
/FUNCT/3000
failure plastic-strain vs triaxiality 
#        Triaxiality      Failure_Strain     
             -0.7000              0.3386
             -0.6000              0.3068
             -0.5000              0.2794
             -0.4000              0.2558
             -0.3333              0.2419
             -0.3000              0.2355
             -0.2000              0.2180
             -0.1000              0.2029
              0.0000              0.1900
              0.1000              0.1789
              0.2000              0.1693
              0.3000              0.1610
              0.3333              0.1585
              0.4000              0.1539
              0.5000              0.1478
              0.6000              0.1425
              0.7000              0.1380
/FUNCT/3001
failure plastic-strain vs triaxiality 
#        Triaxiality      Failure_Strain     
                -0.7             0.27088
                -0.6             0.24544
                -0.5             0.22352
                -0.4             0.20464
             -0.3333            0.19352
                -0.3              0.1884
                -0.2              0.1744
                -0.1             0.16232
                   0                0.152
                 0.1             0.14312
                 0.2             0.13544
                 0.3              0.1288
             0.3333              0.1268
                 0.4             0.12312
                 0.5             0.11824
                 0.6               0.114
                 0.7              0.1104

ソリッド要素のLode角

ソリッド要素の場合、破壊ひずみもまた、Lode角を用いて定義された3次元応力ひずみに依存します。

これは、破壊ひずみをLode角パラメータの関数としてtable_ID11によって参照される/TABLEエンティティ内に追加することで含めることが可能です。シェル要素の場合は、破壊ひずみを応力軸性の関数として定義することだけが必要です。しかしながら、ソリッド要素の場合は、破壊ひずみを応力軸性とLode角の関数として含めると、より正確になります。

Radiossでは、Lode角は、正規化され無次元のLode角パラメータ $ξ$ を使って入力され、ここで定義されます。

あるポイントPにおける応力状態は、主応力（

σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}

) で表されますが、応力不変量（

I_{1}, J_{2}, J_{3}

）を使って表すこともできます。応力不変量を用いる利点は、応力不変量が一定で座標系の向きに依存しない点にあります。図 2では、ポイントP

σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}

の応力状態を応力不変量を使って正しく表すために、その大きさを次のように表します：

O O'

(1)

\sqrt{3} σ_{m} = \frac{\sqrt{3}}{3} I_{1}

ここで、

$σ_{m}$: 平均応力
$I_{1}$: 第1応力不変量 $I_{1} = σ_{1} + σ_{2} + σ_{3}$

O O'

は静水圧軸内にあり、これは、この軸内の主応力が同じ（

σ_{1} = σ_{2} = σ_{3}

）であることを意味しています。

| O O' |

は静水圧です。

O' P

の大きさは：(2)

\sqrt{2 J_{2}} = \sqrt{\frac{2}{3}} σ_{V M}

ここで、 $J_{2}$ 偏差応力 $s (s = σ - p)$ の第2不変量で、 $J_{2} = \frac{1}{2} (S_{1}^{2} + S_{2}^{2} + S_{3}^{2}) = \frac{1}{2} [{(σ_{1} - σ_{2})}^{2} + {(σ_{2} - σ_{3})}^{2} + {(σ_{3} - σ_{1})}^{2}]$ 。

ポイントPを特定するには、円形版内の角度が計算される必要があります。この角度が、Lode角

θ

と呼ばれます：(3)

cos (3 θ) = \frac{27}{2} \frac{J_{3}}{σ_{V M}^{3}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \frac{J_{3}}{J_{2}^{3 / 2}}

ここで、

0 \leq θ \leq \frac{π}{3}

で、

J_{3}

は次のように計算される偏差応力の第3不変量：(4)

J_{3} = S_{1} S_{2} S_{3}

/FAIL/TAB1では、正規化され無次元であるLode角パラメータ

ξ

（範囲は

(- 1 \leq ξ \leq 1)

）が使用され、次のように定義されます：(5)

ξ = cos (3 θ)

Lode角

θ

およびLode角パラメータ

ξ

の特殊な特性を以下に示します：

Lode角パラメータ $ξ$	Lode角 $θ$	応力状態
1	0	単軸引張+静水圧（3軸引張または軸対称引張）
0	30	純せん断 + 静水圧（平面ひずみ）
-1	60	単軸圧縮 + 静水圧（軸対称圧縮）

破壊ひずみサーフェスは、応力軸性およびLode角破壊データから生成できます。

材料破壊サーフェスは、次の材料試験を用いて生成することができます。

例 /TABLE,dimension=3

破壊塑性-ひずみの入力 vs table_ID₁を用いた軸性、ひずみ速度、Lode角

/TABLE/1/4711
failure plastic-strain vs triaxiality and strain rate
#dimension
         3
#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|
#   FCT_ID                   strain_rate          Lode_angle  
      3000                          1E-4                  -1
      3001                           0.1                   0
      3002                           1.0                   1
....

破壊ひずみのスケーリング

温度と要素寸法に基づく材料破壊は、以下を用いて要素寸法および / または温度に応じて破壊ひずみをスケーリングする関数を含めることによって、/FAIL/TAB1で考慮されます：(6)

ε_{f} = X s c a l e 1 \cdot f (σ^{*}, \dot{ε}, ξ) \cdot f a c t o r_{e l} \cdot f a c t o r_{T}

ここで、

$X s c a l e 1$: 一般的なスケールファクター
$f a c t o r_{e l}$: 要素サイズに基づいたスケールファクター
$f a c t o r_{T}$: 温度に基づいたスケールファクター

要素長の依存性

数値シミュレーションでは、要素寸法は材料破壊に影響を及ぼします。同じ破壊パラメータを使用すると、粗いメッシュは細かいメッシュよりも早く破壊します。

メッシュ寸法に基づく結果のバリエーションを考慮し、要素寸法のスケールファクターは、メッシュ要素寸法に基づいて破壊ひずみをスケーリングするために定義され得ます。式 6で定義されるスケールファクターは：(7)

f a c t o r_{e l} = F s c a l e_{e l} \cdot f_{e l} (\frac{S i z e_{e l}}{E l_r e f})

ここで、

$F s c a l e_{e l}$: 要素サイズ関数スケールファクター
$f_{e l} (\frac{S i z e_{e l}}{E l_r e f})$: 正規化された要素寸法（fct_ID_elで定義）の関数としての破壊ひずみスケールファクターで、 $E l_r e f$ は要素寸法の正規化に用いられる参照要素寸法

たとえば、材料検証シミュレーションでは、2mmのメッシュ寸法が使用されました。初期検証の後、同じシミュレーションが異なる要素寸法と

E l_r e f

=2を用いて再実行され、各要素寸法について正しいスケールファクターが決定されます。2番目の検証の結果を用いて、破壊ひずみスケールファクター関数が（図 8）のように構築されます：

温度の依存性

温度が材料破壊に対しどのように影響するか考慮するために、式 6で定義された破壊ひずみ値を、温度スケールファクター関数を用いてスケーリングすることが可能です：(8)

f a c t o r_{T} = F s c a l e_{T} \cdot f_{T} (T_{s t a r t})

ここで、

$F s c a l e_{T}$: 温度関数スケールファクター
$f_{T} (T_{s t a r t})$: fct_ID_Tを介して定義された温度の関数としての破壊ひずみスケールファクター

温度に基づく破壊ひずみのスケーリングは、 /HEAT/MATが定義されている材料、または/MAT/LAW2 (PLAS_JOHNS)のように熱塑性が含まれる材料に機能します。

fct_ID_Tでは、温度は溶融温度または初期温度に対して定義されます。(9)

T^{*} = \frac{T - T_{i n i}}{T_{m e l t} - T_{i n i}}

要素破壊処理

/FAIL/TAB1では、累積損傷モデルが使用されます。損傷は、Engineオプション/ANIM/SHELL/DAMAまたは/ANIM/BRICK/DAMAを使用して、コンタープロット用に出力することができます。

累積損傷はまず、損傷の増分を計算することによって計算されます： (10)

Δ D = \frac{Δ ε_{p}}{ε_{f}} \cdot n \cdot D_{p}^{(1 - \frac{1}{n})}

ここで、

$Δ ε_{p}$: 積分点の塑性ひずみの変化
$ε_{f}$: 現在の応力軸性における塑性破壊ひずみ
$D_{p}$ および $n$: 損傷のパラメータ

損傷累積は：(11)

D = \frac{\sum Δ D}{D_{c r i t}}

ここで、

D_{c r i t}

は/FAIL/TAB1で定義され、推奨される値は0と1の間です。要素は、

D \geq 1

、すなわち

\sum Δ D \geq D_{c r i t}

である際に破断します。

式 10で損傷累積パラメータ $n$ の影響を理解することも興味深いことです。

n

=1の場合損傷は線形、そうでない場合は損傷曲線は非線形となります。

材料の不安定性（拡散ネッキング）

引張試験では、材料は最大工学応力に達し、次に、応力は減少します（軟化と呼ばれることもある）。この最大工学応力ポイントは、ネッキングポイントと称されます。ネッキング後、真の応力は、切断面領域内の減少のため、実際には増加します。これは拡散ネッキングと呼ばれます。シートメタルでは、材料が引張方向に継続的に載荷されると、拡散領域内での厚みの減少や局所的なネッキング（肉やせ）が起こる可能性があります。拡散ネッキングは通常

0 < σ^{*} \leq \frac{2}{3}

の範囲で、肉やせは

\frac{1}{3} \leq σ^{*} \leq \frac{2}{3}

の範囲で起こります。

/FAIL/TAB1では、オプションtable_ID₂またはInst_startとFad_expによって材料の不安定性（拡散ネッキング）を考慮に入れることが可能です。

材料は、不安定性ひずみに達すると、拡散ネッキングのせいで弱化し始めます。材料内の減少した応力は：(12)

σ_{r e d u c e d} = σ \cdot (1 - {(\frac{D_{i n s t a b i l i t y} - i n s t_s t a r t}{1 - i n s t_s t a r t})}^{F a d_\exp})

ここで、(13)

D_{i n s t a b i l i t y} = \sum \frac{Δ ε_{p}}{ε_{f}}

$ε_{f}$ は、その時点での応力の軸性に基づいた拡散ネッキングひずみです。

不安定性が始まるひずみは、table_ID₂を用いた曲線（図 13内の青い曲線）での入力、またはオプションInst_startを用いた制約ひずみとしての入力のいずれかです。

単軸引張試験では、

σ^{*} = \frac{1}{3}

です。

材料の不安定性が含まれない場合、損傷は赤色の破壊曲線を使って計算されます；図 13
材料の不安定性が含まれ、曲線入力を用いてモデル化されている（table_ID₂）場合：
- 拡散ネッキングによる損傷は、図 13で青色の曲線で定義される塑性ひずみに達すると始まります。
- 拡散ネッキングによる損傷は、Fad_exp=1が使用される場合は線形となります。Fad_expが大きくなると、損傷中に、より多くのエネルギーが消散されます。図 13 は、応力-ひずみ曲線の1から10までのFad_expの影響を示しています。Fad_expは、5から10までの値を使用することが推奨されます。
- ひずみが赤色の曲線に達すると、要素は破断します。
  
  図 13. パラメータFad_expの影響と材料不安定性領域
Inst_startのみが曲線入力なしでtable_ID₂で使用されている場合、拡散ネッキング塑性ひずみはすべての応力軸性について一定値Inst_startとなります。

図 14. 拡散ネッキングを描写する一定Inst_start

現時点では、/FAIL/TAB1での拡散ネッキング（材料の不安定性）は、28より大きい数の材料則とのみ使用できます。

¹ Wierzbicki, Tomasz, "Addendum to the Research Proposal on Fracture of Advanced High Strength Steels", page 19, January 2007.

² Wierzbicki, Tomasz."Fracture of AHSS Sheets–Addendum to the Research Proposal on Fracture of Advanced High Strength Steels."Impact and Crashworthiness Laboratory, Massachusetts Institute of Technology (2007).