コンクリートおよび岩石材料

Radiossでは、これらの材料は、岩石またはコンクリート材料のモデル化に使用できます。

これらの材料には、料が破壊したか塑性降伏したかを判断する圧力依存モデルDrücker-Prager降伏基準¹を使用します。

コンクリート材料（/MAT/LAW10と/MAT/LAW21）

Drücker-Prager降伏基準

材料が破壊されている、または塑性降伏を起こしていることは、次の式を使用して圧力によって特定されます：(1)

F = \underset{J_{2} \begin{matrix}  \end{matrix} p a r t}{\underset{︸}{J_{2}}} - \underset{I_{1} \begin{matrix}  \end{matrix} p a r t}{\underset{︸}{(A_{0} + A_{1} P + A_{2} P^{2})}}

ここで、

$J_{2}$: 応力の偏差成分の第2応力不変量（フォンミーゼス応力）および $P = - \frac{I_{1}}{3}$ 。
$I_{1}$: 第1応力不変量（静水圧）。
$I_{1} = σ_{1} + σ_{2} + σ_{3} = - 3 P$
$J_{2} = \frac{1}{6} [{(σ_{1} - σ_{2})}^{2} + {(σ_{2} - σ_{3})}^{2} + {(σ_{3} - σ_{1})}^{2}] = \frac{1}{3} σ_{V M}^{2}$: 単軸試験内。

多項式を使用して、材料のDrücker-Prager降伏曲面における圧力

A_{0} + A_{1} P + A_{2} P^{2}

が表されます： (2)

σ_{V M} = \sqrt{3 (A_{0} + A_{1} P + A_{2} P^{2})}

多項式

A_{0}, A_{1}, A_{2}

の定数は以下によって決定されます：

$F < 0$ の場合、 $J_{2} < A_{0} + A_{1} P + A_{2} P^{2}$ であり、材料は降伏曲面内で、弾性領域内にあります。
$F = 0$ の場合、 $J_{2} = A_{0} + A_{1} P + A_{2} P^{2}$ で、材料は降伏曲面にあります。
$F > 0$ の場合、 $J_{2} > A_{0} + A_{1} P + A_{2} P^{2}$ であり、材料は降伏曲面を越えており、破壊しています。
$A_{1} = A_{2} = 0$ の場合、 $σ_{V M} = \sqrt{3 J_{2}} = \sqrt{3 A_{0}}$ であり、これはフォンミーゼス基準です。

図 2.

圧力の計算

LAW10では、入力パラメータ

C_{0}, C_{1}, C_{2}, C_{3}

による多項式を使用して圧力を表します。圧力は、体積ひずみの関数としてプロットできます。(3)

μ = \frac{ρ}{ρ_{0}} - 1

$P_{e x t} = 0$ の場合、圧力は $P = Δ P$ であり、圧力限界は $P_{\min} = Δ P_{\min}$ です。

図 3. 外部圧力なしの圧力曲線
$P_{e x t} \neq 0$ の場合、圧力は $P_{e x t}$ だけシフトされ、 $P = P_{e x t} + Δ P$ となり、圧力限界は $P_{\min} = P_{e x t} + Δ P_{\min}$ となります。

図 4. 外部圧力ありの圧力曲線

ここで、 (4)

Δ P = {\begin{matrix} \max {Δ P_{\min}, C_{0} + C_{1} μ + C_{2} μ^{2} + C_{3} μ^{3}} \\ \max {Δ P_{\min}, C_{0} + C_{1} μ} \end{matrix} \begin{matrix} i f & μ \geq 0 \begin{matrix}  \end{matrix} c o m p r e s s i o n \\ i f & μ < 0 \begin{matrix}  \end{matrix} t r a c t i o n \end{matrix}

引張では、圧力は線形であり、 $Δ P_{\min}$ によって制限されます。
圧縮では、圧力は非線形であり、 $Δ P_{\min}$ によって制限されます。

材料則間の唯一の違いは、LAW10では、材料定数 $C_{0}, C_{1}, C_{2}, C_{3}$ を使用して圧力と体積ひずみの関係（ $P - μ$ 曲線）を表す点です。LAW21では、関数入力fct_ID_fにより、この曲線を表すことができます。

載荷と除荷

LAW10とLAW21では、パラメータ

μ_{\max}

およびBを使用することで、

P - μ

曲線の異なる載荷および除荷経路を考慮できます。

引張の場合（ $μ < 0$ ）
- LAW10では、 $P = C_{1} μ$ により線形載荷および除荷（図 3）。
- LAW21では、入力関数fct_ID_fを使用して載荷が定義され、 $P = K_{t} μ$ で線形除荷が定義されます。
圧縮の場合（ $μ > 0$ ）、LAW10とLAW21に共通：
- Bも $μ_{\max}$ も定義されていない場合、載荷経路と除荷経路は同じです。
  
  図 5. LAW10とLAW21で同一の載荷と除荷
- Bまたは $μ_{\max}$ のいずれかが定義されている場合：
  1. Bのみが定義されている場合、 $μ_{\max}$ は体積ひずみであり、 $P - μ$ 曲線の接線はB（ $B = {\frac{d P}{d μ} |}_{μ_{\max}}$ ）と等しくなります。
  2. $μ_{\max}$ のみが設定されている場合、Bは、 $μ_{\max}$ における $P - μ$ 曲線の接線です。圧縮時の載荷と除荷は次のとおりです：
    - $μ > μ_{\max}$ の場合、載荷と除荷の経路は同じです。
    - $μ < μ_{\max}$ の場合、載荷と除荷の経路は異なり、これは勾配Bの線形除荷です。
      
      図 6. LAW10とLAW21の異なる載荷と除荷の処理

コンクリート材料（/MAT/LAW24）

鉄筋コンクリート材料をモデル化するには、降伏におけるcapの有無によらず、LAW24でDrücker-Prager基準を使用します。この材料則では、コンクリート材料の破壊メカニズムとして引張亀裂と圧縮破砕の2つを想定しています。

コンクリートの引張挙動

LAW24では、引張時に、オプションH_t、D_sup、および

ε_{\max}

を使用して、引張亀裂と引張破壊を表すことができます。

初期の非常に小さな弾性相においては、材料は弾性係数E_cを有します。

引張強度f_tに達すると、コンクリートはH_tの勾配で軟化し始めます。最大損傷係数D_supは、亀裂中および亀裂後の残留剛性のモデル化を可能にするため重要です。

残留剛性は次のように計算されます：(5)

E = (1 - D_{\sup}) \cdot E_{c}

亀裂閉口が生じると、コンクリートは再度弾性となり、（各方向の）損傷係数は維持されます。

引張におけるコンクリートの支持力は、圧縮における支持力よりはるかに小さくなります。引張では、通常これは弾性と見なされます。

損傷の端における現在の剛性を最小化し、それによって引張における残留応力を回避するため、1に近いD_sup値（デフォルトでは0.99999）を選択することをお勧めします。残留応力は、引張による要素の変形が非常に大きい場合、かなり大きくなる場合があります。これは、損傷の原因になった力が残存している場合に発生します。

繊維によって補強されたコンクリートの挙動をシミュレートし、フィッティングするには、D_sup（およびH_t）を調整することができます。全破壊ひずみ $ε_{\max}$ に達すると、コンクリート材料は破壊します。

圧縮におけるコンクリートの降伏曲面

コンクリートの場合、降伏曲面は、破壊曲面 $r_{f}$ と降伏曲面の間である塑性硬化ゾーンの始まりです。

降伏曲面は、引張ゾーンでの破壊曲面と同じと見なされます。圧縮では、降伏曲面が係数

k (σ_{m}, k_{0})

を使用して破壊曲面にスケールダウンされます。コンクリートのLAW24での降伏は、以下のとおりです：(6)

f = \underset{\begin{array}{l} J_{2} \\ p a r t \end{array}}{\underset{︸}{r}} - \underset{I_{1} \begin{matrix}  \end{matrix} p a r t}{\underset{︸}{k (σ_{m}, k_{0}) \cdot r_{f}}} = 0

I_cap =0または1（降伏におけるcapなし）の場合、降伏曲線は以下のようになります：

図 9. 降伏におけるcapなしでのDrücker-Prager基準
I_cap =2（降伏におけるcapあり）の場合、降伏は以下のようになります：

図 10. 降伏におけるcapありでのDrücker-Prager基準

$r < k (σ_{m}, k_{0}) \cdot r_{f}$ （図 10の緑色の領域）

材料は弾性相に属し、降伏には達していません。

$r \geq r_{f}$ （図 10の赤色の領域）

材料は破壊されています。

$k (σ_{m}, k_{0}) \cdot r_{f} < r < r_{f}$ （図 10の黄色の領域）

材料は、降伏曲面より上で破壊曲面より下の、塑性硬化相に属しています。

入力パラメータ $ρ_{t}$ は単軸引張試験における破壊静水圧、 $ρ_{c}$ は単軸圧縮試験における破壊時の静水圧です。

スケールファクター

k (σ_{m}, k_{0})

は、平均応力

σ_{m}

の関数であり、以下のように表すことができます：

$σ_{m} \geq ρ_{t}$ （引張）の場合、スケールファクターは $k (σ_{m}, k_{0}) = 1$ です。この場合、降伏曲面は破壊曲面と等しくなります： $r = r_{f}$

図 11. $k$ （引張ゾーンにおける）
引張-圧縮領域において、 $ρ_{t} > σ_{m} \geq ρ_{c}$ の場合、
$k (σ_{m}, k_{0}) = 1 + \frac{(1 - k_{0}) \cdot [ρ_{t} (2 ρ_{c} - ρ_{t}) - 2 ρ_{c} σ_{m} + σ_{m}^{2}]}{{(ρ_{c} - ρ_{t})}^{2}}$ ここで、 $k_{y} \leq k_{0} \leq 1$

図 12. $k$ 圧縮-引張混合ゾーンでの関数
曲線の残りは、I_capオプションに依存し、異なるスケールファクター $k (σ_{m}, k_{0})$ が使用されます。
- I_cap =0または1、かつ $σ_{m} < ρ_{c}$ （圧縮）の場合、 $k (σ_{m}, k_{0}) = k_{y}$
  
  図 13. $k$ 圧縮ゾーンでの関数
- I_cap =2（降伏におけるcapあり）、かつ $ρ_{c} < σ_{m} < f_{k}$ （圧縮）の場合、 $k (σ_{m}, k_{0}) = k_{y}$
  
  図 14. $k$ capなしのDrücker-Prager基準の関数
- $f_{k} < σ_{m} < f_{0}$ （capゾーン内）において、
  $k (σ_{m}, k_{0}) = k_{0} [1 - {(\frac{σ_{m} - f_{k}}{f_{0} - f_{k}})}^{2}]$ ここで、 $0 \leq k_{0} \leq k_{y}$
  
  図 15. $k$ capありのDrücker-Prager基準の関数

材料定数 $k_{y}$ は、 $0 \leq k_{y} \leq 1$ である必要があります。大きな値の $k_{y}$ では、降伏曲面がより高くなります。

例えばI_cap =2（capのある降伏）の場合、

k_{y} = 0.8

と

k_{y} = 0.6

の降伏曲面の違い（図 16）。LAW24における

k_{y}

のデフォルト値は0.5です。

圧縮におけるコンクリートの塑性流れ則

非関連塑性流れ則はLAW24で使用されます。塑性流れ則は以下のとおりです：(7)

g = α I_{1} + \sqrt{J_{2}}

ここで、

$α$: 塑性域のダイラタンシー。
$α = \frac{\partial g}{\partial I_{1}}$: 体積塑性流れを制御します。
$I_{1}$: 第1応力不変量（静水圧）。

実験に基づいて、

α

は、

k_{0}

の線形関数です：(8)

α = \frac{(1 - k_{0}) α_{y} + (k_{0} - K_{y}) α_{f}}{1 - K_{y}}

次の場合； $k_{0} = K_{y}$: $α = α_{y}$ となり、材料が降伏していることを意味します。
次の場合； $k_{0} < K_{y}$: $α$ は、cap領域で負となります。
次の場合； $k_{0} = 1$: $α = α_{f}$ となり、材料が破壊されていることを意味します。

$α_{y}, α_{f}$ の値は、降伏点を超え、破壊前の材料を表すために使用されます。LAW24では、 $α_{y}, α_{f}$ に-0.2および-0.1を使用することをお勧めします。 $α_{y}, α_{f}$ に非常に小さな値が使用されると、体積塑性はなくなります（cap領域なし）。

圧縮におけるコンクリートの圧壊

破壊サーフェスは次のように与えられます： (9)

f = r - r_{f} (σ_{m}, θ) = 0

ここで、

r = \sqrt{2 J_{2}} / f_{c}

σ_{m} = I_{1} / 3 f_{c}

と

θ

はLoad角で、次のようになります：(10)

\cos 3 θ = \frac{J_{3}}{2} {(\frac{3}{J_{2}})}^{3 / 2}

このサーフェスを構築するためにOttosenサーフェスが作成されます： (11)

r_{f} (σ_{m}, θ) = \frac{1}{a} (- b + \sqrt{b^{2} - a (σ_{m} - c)})

ここで、

a

、

b_{c}

、

b_{t}

および

c

がサーフェスを形成する4つの値で、 (12)

b (b_{c}, b_{t}, θ) = \frac{1}{2} [b_{c} (1 - \cos 3 θ) + b_{t} (1 + \cos 3 θ)]

コンクリートの場合、圧縮破壊曲線

r_{f}

は、以下の強度で定義できます。

$f_{t}$: 単軸引張（軸性は1/3）
$f_{c}$: 単軸圧縮（軸性は-1/3）
$f_{b}$: 2軸圧縮（軸性は-2/3）
$f_{2}$: 拘束圧縮強度（3軸試験）
$s_{0}$: 拘束圧

3D破壊エンベロープをすべて特定する最善の方法は、

f_{c}, f_{t}, f_{b}, f_{2}, s_{0}

のすべての値の実験データを取得する方法です。これを図 18に図式的に示します。

表 1. 4つの実験からの入力
荷重タイプ	サーフェスポイント	デフォルト入力	基準 $r$	圧力 $σ_{m}$	Lode角 $θ$
圧縮	$(f_{c}, 0, 0)$	必須	$r = \sqrt{2 / 3}$	$σ_{m} = - 1 / 3$	$\cos θ = - 1$
直接引っ張り	$(f_{t}, 0, 0)$	$f_{t} =0 .1 f_{c}$	$r = \sqrt{2 / 3} (\frac{f_{t}}{f_{c}})$	$σ_{m} = 1 / 3 (\frac{f_{t}}{f_{c}})$	$\cos θ = 1$
2軸圧縮	$(f_{2}, s_{0}, s_{0})$	`I`_cap = 1であれば、 $f_{2} =4 .0 f_{c}$ `I`_cap = 2であれば、 $f_{2} =7 .0 f_{c}$ $s_{0} =1 .25 f_{c}$	$r = \sqrt{2 / 3} (\frac{f_{t}}{f_{c}}) σ_{m}$	$σ_{m} = 2 / 3 (\frac{f_{t}}{f_{c}})$	$\cos θ = 1$
拘束圧力の下での圧縮強度	$(f_{b}, f_{b}, 0)$	$f_{b} =1 .2 f_{c}$	$r = \sqrt{2 / 3} \frac{f_{2} - s_{0}}{f_{c}}$	$σ_{m} = \frac{f_{2} + 2 s_{0}}{3 f_{c}}$	$\cos θ = - 1$

図 19 と図 20は、破壊サーフェスを決定するポイントを示しています。

これらのプロットから、破壊エンベロープが凸型サーフェスではないことがわかります。図 21 はこの挙動を示しています。

この特定のケースにおいては、圧縮強度は変化していますが、

\frac{f_{t}}{f_{c}}, \frac{f_{b}}{f_{c}}, \frac{f_{2}}{f_{c}}, \frac{s_{0}}{f_{c}}

といったその他すべての比率は固定されています。これにより、図 24のようなエンベロープスケーリングが生じます。

ここでは、LAW24と同じ強度を使用していますが、拘束圧縮強度

f_{2}

には異なる値を使用しています。

f_{c}

、およびコンクリート破壊の定義に使用する

r - σ_{m}

空間での比率

\frac{f_{t}}{f_{c}}, and \frac{f_{b}}{f_{c}}

は次のようになります：

ここで、破壊曲線は、 $r = \sqrt{2 J_{2}} = \sqrt{\frac{2}{3}} σ_{V M}$ を使用して定義され、 $σ_{m} = \frac{I_{1}}{3}$ は平均応力（圧力）、 $I_{1}$ および $J_{2}$ は第1および第2応力不変量です。

破壊曲線 $r_{f}$ に達すると、材料は破壊します。

コンクリートの補強

Radiossでは、2つの方法でコンクリートの補強をシミュレートできます。

1つは、ビームまたはトラス要素を複数の運動条件でコンクリートに結合する方法です。
もう1つは、LAW24のパラメータを直交異方性ソリッドプロパティ/PROP/TYPE6とともに使用し、補強方向を定義する方法です。LAW24のパラメータ $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ を使用して、方向1、2、3について、全体のコンクリート断面積に対する補強断面積の比率を定義します。(13) $α_{i} = \frac{A r e a_{s t e e l}}{A r e a_{c o n c r e t e}}$

ここで、

σ_{y}

は、補強の降伏応力です。補強としてスチールが使用される場合は、

σ_{y}

がスチールの降伏応力で、

E_{t}

が塑性相におけるスチールの弾性率です。

コンクリート材料（/MAT/LAW81）

LAW81は岩石またはコンクリート材料のモデル化に使用できます。

Drücker-Prager降伏基準

LAW81ではDrücker-Prager降伏基準を使用します。ここでは、降伏曲面と破壊曲面が同じです。降伏基準は以下のとおりです：(14)

F = \underset{J_{2} part}{\underset{︸}{q}} - \underset{I_{1} part}{\underset{︸}{r_{c} (p) \cdot (p \tan ϕ + c)}} = 0

ここで、

$q$: 以下の条件におけるvon Mises応力： $q = σ_{V M} = \sqrt{3 J_{2}}$
$p$: 圧力は以下のように定義されます： $p = \frac{1}{3} I_{1}$

降伏曲面は2つの部分で表されます：

線形部分（ $p \leq p_{a}$ ）、ここではスケール関数が $r_{c} (p) = 1$ で、von Mises応力が圧力に線形比例します：(15) $q = p \tan ϕ + c$
ここで、

$c$

粘度。せん断強度による降伏エンベロープを制限します。

$c = 0$ の場合、材料に引張強度はありません。

$ϕ$

内部摩擦の角度。降伏エンベロープの勾配を定義します。

$c$ および $ϕ$ は、Mohr-Coulomb降伏曲面の定義にも使用されます。Drücker-Prage降伏曲面は、Mohr-Coulomb降伏曲面を滑らかにしたものです。

降伏曲面の2つ目の部分（ $p_{a} < p < p_{b}$ ）は、cap制限をシミュレートします。岩石またはコンクリート材料での圧力の増加により、材料の降伏が増加しますが、圧力が十分に大きくなると、岩石またはコンクリート材料は圧壊されます。cap制限のあるDrücker-Pragerモデルを使用して、この挙動をモデル化できます。cap制限はの部分で定義され、以下のスケール関数を使用します：(16) $r_{c} (p) = \sqrt{1 - {(\frac{p - p_{a}}{p_{b} - p_{a}})}^{2}}$
von Mises応力は以下のようになります：(17) $q = \sqrt{1 - {(\frac{p - p_{a}}{p_{b} - p_{a}})}^{2}} \cdot (p \tan ϕ + c)$ ここで、

$p_{b}$

曲線はfct_ID_Pb入力を使用して定義されます。

$p_{a}$

入力 $α$ 率の値を使用してRadiossによって計算されます。

$p_{a} = α \cdot p_{b}$ ここで、 $0 < α < 1$ 。

ここで、 $p_{0}$ は、降伏曲線の最大ポイントです。ここで、 $\frac{\partial F}{\partial p} (p_{0}) = 0$

$p = p_{b}$ の場合、 $r_{c} (p_{b}) = 0$ となり、降伏関数は、

$q = 0 \cdot (p \tan ϕ + c) = 0$ となります。これは材料が圧壊されることを意味します。

入力パラメータ

ϕ, c, p_{b}, α

を、Drücker–Prager降伏曲面用に特定する必要があります。これらのパラメータをフィッティングさせるには、少なくとも4つの試験が必要です。最も簡単なケースでは、単軸引張と単軸圧縮を使用して、線形部分

ϕ, and c

を特定できます。

p_{b}, and α

を特定するには、2軸圧縮試験と圧縮 / 圧縮試験が必要です（RD-E：4701 Kupfer試験でのコンクリートの検証のCC00およびCC01 ）。

金属など、ほとんどの材料では、塑性ひずみの増分は降伏曲面に垂直と見なすことができます。ただし、降伏曲面に垂直な塑性ひずみの増分が岩石やコンクリートの材料に使用された場合、塑性体積膨張が過大に見積もられます。したがって、非関連塑性流れ則がこれらの材料で使用されます。LAW81では、塑性流れ関数

G

は次のように定義されます：

$G = q - p \cdot \tan ψ = 0$ 、右記の場合； $p \leq p_{a}$
$G = q - \tan ψ (p - \frac{{(p - p_{a})}^{2}}{2 (p_{0} - p_{a})}) = 0$ 、右記の場合； $p_{a} < p \leq p_{0}$
$G = F$ 、右記の場合； $p > p_{0}$

圧力は

p_{0}

であるため、降伏関数

F

と塑性流れ関数

G

は同じであり、次の条件が満たされます：(18)

G (p_{0}) = F (p_{0})

(19)

\frac{\partial G}{\partial p} |_{p_{0}} = \frac{\partial F}{\partial p} |_{p_{0}} = 0

圧力

p_{0}

は、

\frac{\partial F}{\partial p} |_{p_{0}} = 0

である降伏曲面を使用して計算できます。ここで

G

は次のように定義されます。(20)

G = q - \tan ψ (p - \frac{{(p - p_{a})}^{2}}{2 (p_{0} - p_{a})}) = 0

パラメータ

ψ

は、関数内の圧力

p_{0}

でvon Mises応力を使用することで特定できます。

¹ Han, D. J., and Wai-Fah Chen."A nonuniform hardening plasticity model for concrete materials."Mechanics of materials 4, no. 3-4 (1985): 283-302