LAW25（Tsai-WUおよびCRASURV）

LAW25は、Radiossにおいて最も一般的に用いられている複合材です。これは、シェル要素とソリッド要素に使用できます。LAW25では、Tsai-WuとCRASURVの2つの定式化を使用できます。

弾性相

弾性相では、異方性材料の記述に、ヤング率（3パラメータ）、せん断係数（3パラメータ）、およびポアソン比（1パラメータ）が必要となります。(1)

[\begin{matrix} ε_{11} \\ ε_{22} \\ ε_{33} \\ γ_{12} \\ γ_{23} \\ γ_{31} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{1}{E_{11}} & - \frac{ν_{12}}{E_{11}} & - \frac{ν_{12}}{E_{33}} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{E_{22}} & - \frac{ν_{12}}{E_{22}} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{E_{33}} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2 G_{12}} & 0 & 0 \\ s y m m . & \frac{1}{2 G_{23}} & 0 \\ \frac{1}{2 G_{31}} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{33} \\ σ_{12} \\ σ_{23} \\ σ_{31} \end{matrix}]

`I`_form=0 および =1の場合のTsai-Wu降伏基準

LAW25におけるTsai-Wu降伏曲面は、次のように6つの係数で定義されます：

I_form=0: Tsai-Wu $(F (σ) \leq F (W_{p}^{*}, \dot{ε}))$: I_form=1: CRASURV $(F (W_{p}^{*}, \dot{ε}, σ) \leq 1)$
$F (σ) = F_{1} σ_{1} + F_{2} σ_{2} + F_{11} σ_{1}^{2} + F_{22} σ_{2}^{2} + F_{44} σ_{12}^{2} + 2 F_{12} σ_{1} σ_{2}$: $\begin{array}{l} F (W_{p}^{*}, \dot{ε}, σ) = F_{1} (W_{p}^{*}, \dot{ε}) σ_{1} + F_{2} (W_{p}^{*}, \dot{ε}) σ_{2} + F_{11} (W_{p}^{*}, \dot{ε}) σ_{1}^{2} \\ + F_{22} (W_{p}^{*}, \dot{ε}) σ_{2}^{2} + F_{44} (W_{p}^{*}, \dot{ε}) σ_{12}^{2} + 2 F_{12} (W_{p}^{*}, \dot{ε}) σ_{1} σ_{2} \end{array}$

降伏における材料をチェックするには、Tsai-Wu (I_form=0) では

F (σ)

が各応力状態での

F (W_{p}^{*}, \dot{ε})

と比較され、CRASURV (I_form=1)では

F (W_{p}^{*}, \dot{ε})

が各応力状態での1と単に比較されます。

これら６つの係数は、次の試験の降伏応力により決定することもできます：

引張り / 圧縮試験
縦方向引張り / 圧縮試験（方向1、繊維方向）

I_form = 0：Tsai-Wu $(F (σ) \leq F (W_{p}^{*}, \dot{ε}))$

I_form = 1：CRASURV $(F (W_{p}^{*}, \dot{ε}, σ) \leq 1)$

$F_{1} = - \frac{1}{σ_{1 y}^{c}} + \frac{1}{σ_{1 y}^{t}}$

$F_{11} = \frac{1}{σ_{1 y}^{c} σ_{1 y}^{t}}$

$F (W_{p}^{*}, \dot{ε}) = (1 + b {(W_{p}^{*})}^{n}) \cdot (1 + c \ln (\frac{\dot{ε}}{{\dot{ε}}_{0}}))$

ここで、 $W_{p}^{*} = \frac{W_{p}}{W_{p}^{r e f}}$

$F_{1} (W_{p}^{*} \cdot \dot{ε}) = - \frac{1}{σ_{1 y}^{c} (W_{p}^{*} \cdot \dot{ε})} + \frac{1}{σ_{1 y}^{t} (W_{p}^{*} \cdot \dot{ε})}$
$F_{11} (W_{p}^{*} \cdot \dot{ε}) = \frac{1}{σ_{1 y}^{c} (W_{p}^{*} \cdot \dot{ε}) \cdot σ_{1 y}^{t} (W_{p}^{*} \cdot \dot{ε})}$

引張の場合：

$σ_{1 y}^{t} (W_{p}^{*} \cdot \dot{ε}) = σ_{1 y}^{t} (1 + b_{1}^{t} {(W_{p}^{*})}^{n_{1}^{t}}) (1 + c_{1}^{t} \ln (\frac{\dot{ε}}{{\dot{ε}}_{0}}))$

圧縮の場合：

$σ_{1 y}^{c} (W_{p}^{*} \cdot \dot{ε}) = σ_{1 y}^{c} (1 + b_{1}^{c} {(W_{p}^{*})}^{n_{1}^{c}}) (1 + c_{1}^{c} \ln (\frac{\dot{ε}}{{\dot{ε}}_{0}}))$

ここで、 $W_{p}^{*} = \frac{W_{p}}{W_{p}^{r e f}}$

横方向引張り / 圧縮試験（方向2）

I_form = 0：Tsai-Wu $(F (σ) \leq F (W_{p}^{*}, \dot{ε}))$

I_form = 1：CRASURV $(F (W_{p}^{*}, \dot{ε}, σ) \leq 1)$

$F_{2} = - \frac{1}{σ_{2 y}^{c}} + \frac{1}{σ_{2 y}^{t}}$

$F_{22} = \frac{1}{σ_{2 y}^{c} σ_{2 y}^{t}}$

ここで、 $W_{p}^{*} = \frac{W_{p}}{W_{p}^{r e f}}$

$F_{2} (W_{p}^{*} \cdot \dot{ε}) = - \frac{1}{σ_{2 y}^{c} (W_{p}^{*} \cdot \dot{ε})} + \frac{1}{σ_{2 y}^{t} (W_{p}^{*} \cdot \dot{ε})}$
$F_{22} (W_{p}^{*} \cdot \dot{ε}) = \frac{1}{σ_{2 y}^{c} (W_{p}^{*} \cdot \dot{ε}) \cdot σ_{2 y}^{t} (W_{p}^{*} \cdot \dot{ε})}$

引張の場合：

$σ_{2 y}^{t} (W_{p}^{*} \cdot \dot{ε}) = σ_{2 y}^{t} (1 + b_{2}^{t} {(W_{p}^{*})}^{n_{2}^{t}}) (1 + c_{2}^{t} \ln (\frac{\dot{ε}}{{\dot{ε}}_{0}}))$

圧縮の場合：

$σ_{2 y}^{c} (W_{p}^{*} \cdot \dot{ε}) = σ_{2 y}^{c} (1 + b_{2}^{c} {(W_{p}^{*})}^{n_{2}^{c}}) (1 + c_{2}^{c} \ln (\frac{\dot{ε}}{{\dot{ε}}_{0}}))$

ここで、 $W_{p}^{*} = \frac{W_{p}}{W_{p}^{r e f}}$
せん断試験
平面1-2でのせん断

I_form = 0：Tsai-Wu $(F (σ) \leq F (W_{p}^{*}, \dot{ε}))$

I_form = 1：CRASURV $(F (W_{p}^{*}, \dot{ε}, σ) \leq 1)$

$F_{44} = \frac{1}{σ_{12 y}^{c} σ_{12 y}^{t}}$

$σ_{12 y}^{t}$ および $σ_{12 y}^{c}$ はサンプル試験の結果であり得る：

$F (W_{p}^{*}, \dot{ε}) = (1 + b {(W_{p}^{*})}^{n}) \cdot (1 + c \ln (\frac{\dot{ε}}{{\dot{ε}}_{0}}))$

ここで、 $W_{p}^{*} = \frac{W_{p}}{W_{p}^{r e f}}$

$F_{44} (W_{p}^{*}, \dot{ε}) = \frac{1}{σ_{12 y}^{} (W_{p}^{*}, \dot{ε}) \cdot σ_{12 y}^{} (W_{p}^{*}, \dot{ε})}$

せん断の場合：

$σ_{12 y}^{} (W_{p}^{*} \cdot \dot{ε}) = σ_{12 y}^{} (1 + b_{12}^{} {(W_{p}^{*})}^{n_{12}^{}}) (1 + c_{12}^{} \ln (\frac{\dot{ε}}{{\dot{ε}}_{0}}))$

$σ_{12 y}$ はサンプル試験の結果であり得る：
相互作用係数

I_form = 0：Tsai-Wu $(F (σ) \leq F (W_{p}^{*}, \dot{ε}))$

I_form = 1：CRASURV $(F (W_{p}^{*}, \dot{ε}, σ) \leq 1)$

$F_{12} = - \frac{α}{2} \sqrt{F_{11} F_{22}}$

一般には、デフォルトの減少係数、 $α = 1$ が使用されます。

$F (W_{p}^{*}, \dot{ε}) = (1 + b {(W_{p}^{*})}^{n}) \cdot (1 + c \ln (\frac{\dot{ε}}{{\dot{ε}}_{0}}))$

ここで、 $W_{p}^{*} = \frac{W_{p}}{W_{p}^{r e f}}$

$F_{12} (W_{p}^{*}, \dot{ε}) = - \frac{α}{2} \sqrt{F_{11} (W_{p}^{*}, \dot{ε}) F_{22} (W_{p}^{*}, \dot{ε})}$

一般には、デフォルトの減少係数、 $α = 1$ が使用されます。

Tsai-Wuでは、相対塑性仕事

W_{p}^{*}

を使用して降伏曲面を計算します。CRASURVでは、相対塑性仕事は降伏応力の計算に使用されます。

I_form = 0：Tsai-Wu $(F (σ) \leq F (W_{p}^{*}, \dot{ε}))$: I_form = 1：CRASURV $(F (W_{p}^{*}, \dot{ε}, σ) \leq 1)$
$F (σ) \leq F (W_{p}^{*}, \dot{ε})$
ここで、 $F (W_{p}^{*}, \dot{ε}) = (1 + b {(W_{p}^{*})}^{n}) * (1 + c \ln (\frac{\dot{ε}}{{\dot{ε}}_{0}}))$
ここで、 $W_{p}^{*} = \frac{W_{p}}{W_{p}^{r e f}}$: $F (W_{p}^{*}, \dot{ε}, σ) \leq 1$
右記の場合、材料は弾性相； $F (σ) \leq F (W_{p}^{*}, \dot{ε})$
右記の場合、材料は非線形相； $F (σ) > F (W_{p}^{*}, \dot{ε})$

降伏応力限度 $F (W_{p}^{*}, \dot{ε})$ のは右記の範囲です； 1～ $f_{\max}$: 右記の場合、材料は弾性相； $F (W_{p}^{*}, \dot{ε}, σ) \leq 1$; 右記の場合、材料は非線形相； $F (W_{p}^{*}, \dot{ε}, σ) > 1$

LAW25（Tsai-WuおよびCRASURV）では、損傷が全ひずみと最大損傷係数の関数になります。

全ひずみが

ε > ε_{t}

、または面外ひずみが

γ_{i n i} < γ < γ_{\max}

の場合、材料は次の方法により軟化します：(2)

σ^{r e d u c e} = σ \cdot (1 - d_{i})

で、i=1,2,3

ここで、d_iは損傷係数で、以下のように定義されます：(3)

d_{i} = \min (\frac{ε_{i} - ε_{t i}}{ε_{i}} \cdot \frac{ε_{m i}}{ε_{m i} - ε_{t i}}, d_{\max})

ここで、i=1,2(4)

d_{3} = \min (\frac{γ - γ_{i n i}}{γ_{\max} - γ_{i n i}} \cdot \frac{γ_{\max}}{γ}, d_{3 \max})

in direction 3 (delamination)

If the total strain is between $ε_{t} < ε < ε_{f}$ , the material begins to soften, but this damage is reversible. Once $ε > ε_{f}$ , then the damage is irreversible and if $ε \geq ε_{m}$ , then stress in material is reduced to 0.
Damage could be in elastic phase or in plastic phase. It depends on which phase $ε_{t}$ and $ε_{f}$ are defined in.
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LAW25（Tsai-WUおよびCRASURV）

弾性相

Iform=0 および =1の場合のTsai-Wu降伏基準

`I`_form=0 および =1の場合のTsai-Wu降伏基準