/MAT/LAW101

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/UNIT/1
unit for mat
                  kg                  mm                  ms
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/MAT/LAW101/1/1
Talc filled Polypropylene
#              RHO_I
            9.05E-3
#               EREF                  E1                  Nu                 VE1
              2700.0                                  0.2600              0.0E-1
#                VE2            EDOT_REF        GAMA_DOT_REF              ALPHAP
              1.0E-2               1.0E3           3.464E+18            8.313E-2
#            delta_H                   V                   m                  C3
            109000.0           1.325E-27               5.000            
#                 C4             ALPHAK1             ALPHAK2                  H0
                  12              1.0E-2                 0.0                  40
#            ZETA1_i                  C5                  C6                  C7
               0.000             -9.0E-3              0.6600                   0  
#                 C8                  C9                 C10                  h1
               0.200              -0.300               6.700               0.000
#            ZETA2_i                 C11                 C12                 C13
               0.000                 0.0              12.000             -7.0E-3
#                C14                  C1                  C2            LAMBDA_L
               0.600             -0.1000               8.000               4.800
#        RHO_theta_0          CV_theta_0              THETA0            ALPHA_TH
            9.05E-10               2.0E9             298.000             7.70E-5
#        THETA_GLASS         TEMP_FACTOR          THETA_FLAG              THETAi
             373.000               0.000               0.000             298.000
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#enddata

1. この材料は、Lagrange型全ひずみを有するソリッド要素でのみ互換性があります。ひずみ定式化フラグは、/PROP/SOLIDでI_smstr＝10がデフォルトです。
2. この材料則では計算コストが高くなります。ただし、ポリプロピレン材料では、このモデルできわめて優れた結果が得られます。
3. このモデルは、Bouvard¹によって提唱されている熱力学のフレームワークに基づくモデルです。このフレームワークでは、重合鎖の変形の基礎となる物理学を正確に記述するために、物理ベースの内部状態変数（ISV）が選択されています。これらのISVは、ポリマーネットワークの現在のエネルギー状態を記述する値であり、ヘルムホルツの自由エネルギーで使用されています。このモデルでは、次の3つのISVを使用しています。

   ${\overline{z}}_1$

   エンタングルメント点によって誘導される、内部ひずみ類似のスカラー。エンタングルメント点は、鎖の運動に対する障害の一種を記述します。鎖のエンタングルメントでは、一定量の応力における滑りによってひずみ軟化が発生します（図 1参照）。

   ${\overline{z}}_2$

   大きなひずみの下で鎖に発生する整列とコイル化に伴う、内部ひずみ類似のスカラーであって、材料硬化の原因となるもの。

   $\beta$

   大きなひずみの下で発生する鎖配向と鎖のストレッチに伴う、内部ひずみ類似のテンソルであって、材料硬化の原因となるもの。

   
   
   図 1. 全変形勾配の分解

   この問題の動力学の記述は、変形勾配を弾性成分、粘塑性成分、等方性成分、熱的成分に分解することを基本としています。(1)

   $$F=F^e{F}^p{F}^{\theta }$$
4. このモデルでは、 $J^p=1$ となる非圧縮性塑性流を考慮します。 $F^e=R^e{U}^e$ および弾性対数ひずみテンソル $E^e=\ln U^e$ を考慮すると、Mandel応力テンソル $M$ は次の式で計算できます。(2)
   $$M=2\mu \left(\theta \right)E^e+\left(K\left(\theta \right)-\frac{2}{3}\mu \left(\theta \right)\right)tr\left(E^e\right)I$$
   ここで、(3)

   $$\mu \left(\theta \right)=\frac{E\left(\theta \right)}{2+2\nu }$$
   また、(4)

   $$K\left(\theta \right)=2\mu \left(\theta \right)\frac{1+\nu }{3\left(1-2\nu \right)}$$
   ここで、

   $E\left(\theta \right)$

   ヤング率

   $\nu$

   ポアソン比

   $K\left(\theta \right)$

   体積弾性率

   $\mu \left(\theta \right)$

   せん断率

5. Cauchy応力テンソル $\sigma$ は、次のようにMandel応力から求めることができます。(5)
   $$\sigma =J^e{}^{-1}{R}^{e}M{R}^e{}^T$$
   $F^p$ の発展方程式を記述する粘塑性流動則は次のようになります。(6)

   $${\dot{F}}^p=D^p{F}^p$$
   ここで、(7)

   $$D^p=\frac{1}{\sqrt{2}}{\dot{\gamma }}^p{N}^p$$
   ここで、

   $N^p$

   粘性流の方向。

   $dev$

   テンソルの偏差部分。

   (8)

   $$N^p=\frac{dev\left(M-\alpha \right)}{\Vert dev\left(M-\alpha \right)\Vert }$$
   テンソル $\alpha$ は、ひずみ類似のテンソル $\beta$ に対応する応力類似のテンソルであり、大変形の下での鎖のストレッチを表します。粘性流は次の式で求められます。(9)

   $${\dot{\gamma }}^p={\dot{\gamma }}_0^p\times e^{-\frac{\text{Δ}H}{R\theta }}{\left[\sinh \left(\frac{{\tau }_{eq}V}{k_B\theta }\right)\right]}^m$$
   ここで、

   ${\dot{\gamma }}^p$

   粘性せん断ひずみ速度。

   ${\tau }_{eq}$

   塑性せん断応力の大きさ。

   最後に、内部状態変数の発展則は次のようになります。(10)

   $${\dot{\overline{z}}}_1=h_0\left(1-\frac{{\overline{z}}_1}{z*}\right){\dot{\gamma }}^p$$

   (11)

   $${\dot{z}}^{*}=\left({\overline{z}}_{sat}^{*}-{\mathrm{g}}_0\left(\theta \right)z^{*}\right){\dot{\gamma }}^p$$

   (12)

   $${\dot{\overline{z}}}_2=h_1\left({\lambda }^p-1\right)\left(1-\frac{{\overline{z}}_2}{z_{2sat}\left(\theta \right)}\right){\dot{\gamma }}^p$$
   そして(13)

   $$\dot{\beta }=R_s\left(\theta \right)\left(D^p{}_{}\beta +\beta D^p{}_{}\right)$$
6. 温度の関数としたヤング率は次のようになります。(14)
   $$\mathrm{E}\left(\theta \right)=\left[E_{ref}+{\mathrm{E}}_1\left(\theta -{\theta }_{ref}\right)\right]\left[1+\frac{V{E}_1}{1+\exp \left(-\frac{\log \dot{\epsilon }-\log {\dot{\epsilon }}_{ref}}{V{E}_2}\right)}\right]$$
7. 内部状態変数（ISV）：

   ISV1	ISV2	ISV3
   $k_1={\alpha }_{k1}\mu \left(\theta \right){\overline{z}}_1$	$k_2={\alpha }_{k2}\mu \left(\theta \right){\overline{z}}_2$	$\alpha ={\mu }_B\left(\theta \right)\beta$
   ${\dot{\overline{z}}}_1=h_0\left(1-\frac{{\overline{z}}_1}{z*}\right){\dot{\gamma }}^p$	${\dot{\overline{z}}}_2=h_1\left({\lambda }^p-1\right)\left(1-\frac{{\overline{z}}_2}{z_{2sat}\left(\theta \right)}\right){\dot{\gamma }}^p$	$\dot{\beta }=R_s\left(\theta \right)\left(D^p{}_{}\beta +\beta D^p{}_{}\right)$
   ${\dot{z}}^{*}=\left({\overline{z}}_{sat}^{*}-{\mathrm{g}}_0\left(\theta \right)z^{*}\right){\dot{\gamma }}^p$	${\overline{z}}_{2sat}\left(\theta \right)=C_{11}\left(\theta -{\theta }_{ref}\right)+C_{12}$	${\mu }_B\left(\theta \right)={\mu }_R\left(\theta \right){\left(1-\frac{tr\left(\beta \right)-3}{{\lambda }_L}\right)}^{-1}$
   ${\overline{z}}_{sat}^{*}\left(\theta \right)=C_7\left(\theta -{\theta }_{ref}\right)+C_8$		${\mu }_R\left(\theta \right)=C_1\left(\theta -{\theta }_{ref}\right)+C_2$
   $g_0\left(\theta \right)=C_9\left(\theta -{\theta }_{ref}\right)+C_{10}$		$R_s\left(\theta \right)=C_{13}\left(\theta -{\theta }_{ref}\right)+C_{14}$
   $z_0^{*}\left(\theta \right)=C_5\left(\theta -{\theta }_{ref}\right)+C_6$

8. 流動則：
   • ${\dot{F}}^p=D^p{F}^p$
   • $D^p=\frac{1}{\sqrt{2}}{\dot{\gamma }}^p{N}^p$
   • $N^p=\frac{dev\left(M-\alpha \right)}{\Vert dev\left(M-\alpha \right)\Vert }$
   • ${\dot{\gamma }}^p={\dot{\gamma }}_0^p{e}^{-\frac{\text{Δ}H}{k\theta }}{\left[\sinh \left(\frac{{\tau }_{eq}V}{k_B\theta }\right)\right]}^m$
   • ${\tau }_{eq}=\tau -\left(\mathrm{Y}\left(\theta \right)+{\kappa }_1+{\kappa }_2+{\alpha }_p\overline{\pi }\right)$
   • $\mathrm{Y}\left(\theta \right)=C_3\left(\theta -{\theta }_{ref}\right)+C_4$
   • $\tau =\frac{1}{\sqrt{2}}\Vert dev\left(M-\alpha \right)\Vert$
9. 発熱（断熱条件下）
   • $c_v\dot{\theta }=\omega M:D^p$
   • $\rho \left(\theta \right)=\rho \left({\theta }_{ref}\right)\frac{1.42{\theta }_g+44.7}{1.42{\theta }_g+0.15\theta }$
   • $c_v=c_v\left({\theta }_{ref}\right)\left(0.106+3\times {10}^{-3}\theta \right)$
   ここで、

   記法	説明	記法	説明
   ${\alpha }_{k1}$	材料パラメータ	$D^p$	速度勾配の塑性成分
   ${\alpha }_{k2}$	材料パラメータ	$E$	対数ひずみテンソル
   $\alpha$	内部せん断応力	$E_{ref}$	参照温度におけるヤング率
   ${\alpha }_p$	圧力感度パラメータ	$E_1$	材料パラメータ
   $\beta$	ISV3テンソル	$F$	変形勾配
   ${\dot{\gamma }}^p$	粘性流	$F^e$	の弾性成分 $F$
   ${\epsilon }^{nom}$	公称ひずみ	$F^p$	の塑性成分 $F$
   ${\epsilon }^{true}$	Henckyひずみ（真のひずみ）	$F^{\theta }$	の熱成分 $F$
   $\eta$	粘性	$g_0$	材料パラメータ
   $\theta$	温度	$\text{Δ}H$	アクティブ化エネルギー
   ${\kappa }_1\text{, }{\kappa }_2$	エンタングルメント点によって誘導される内部応力場	$h_0$	硬化係数
   $\lambda$	ストレッチ	$h_1$	硬化係数
   ${\lambda }_L$	ネットワークロッキングストレッチ	$J$	のデターミナント $F$
   ${\lambda }_p$	相当塑性ストレッチ	$K$	体積弾性率
   $\mu$	弾性せん断係数	$k_B$	ボルツマン定数
   ${\mu }_B$	内部せん断応力係数	$M$	Mandel応力
   ${\mu }_R$	ゴム係数	$m$	粘性流指数
   $\nu$	ポアソン比	$N^p$	粘性流の方向
   $\overline{\pi }$	有効圧力	$R$	気体定数
   $\sigma$	Cauchy応力（真の応力）	$R_s$	材料パラメータ
   $\tau$	相当せん断応力	$R\text{, }U$	の反対称、対称部分 $F$
   $\psi$	自由エネルギー	$V$	アクティブ化体積
   $\omega$	変換係数	$Y$	降伏曲面
   $C$	Cauchy-Greenテンソル	${\overline{z}}_1$	ISV1
   $c_v$	熱容量	${\overline{z}}_2$	ISV2
   $C_1,C_2,\mathrm{...},C_{14}$	材料パラメータ	${\overline{z}}^{*}$	鎖の滑りのひずみ基準
   $D$	速度勾配	${\overline{z}}_{sat}^{*}$	の飽和値 ${\overline{z}}^{*}$