Bergstrom-Boyce (/MAT/LAW95)

この材料則は、エラストマー状の材料の非線形時間依存を予測するための構成モデルです。非線形粘弾性時間依存材料の応答を表すために、超弾性材料応答およびBergstrom-Boyce材料モデルに多項式材料モデルを使用します。

この材料則はソリッド要素とのみ適合性があります。

材料の応答は、2つの並列ネットワークAとBを用いて表すことができます。ネットワークAは、非線形超弾性コンポーネントを伴う均衡ネットワークです。ネットワークBでは、非線形超弾性コンポーネントは非線形粘弾性流れ要素と直列であり、したがって、時間依存のネットワークです。

図 1.

材料パラメータ

両方のネットワークで、超弾性コンポーネントに同じ多項式ひずみエネルギー密度定式化が用いられます。ネットワークBでは、係数

S_{b}

によってスケーリングされます。ひずみエネルギー密度はその後、ネットワークの超弾性コンポーネント用に書き出されます：(1)

W_{A} = \sum_{i + j = 1}^{3} C_{i j} {({\bar{I}}_{1} - 3)}^{i} \cdot {({\bar{I}}_{2} - 3)}^{j} + \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{D_{i}} {(J - 1)}^{2 i}

および(2)

W_{B} = S_{b} \cdot W_{A}

ここで、

${\bar{I}}_{1} = {\bar{λ}}_{1}^{2} + {\bar{λ}}_{2}^{2} + {\bar{λ}}_{3}^{2}$
${\bar{I}}_{2} = {\bar{λ}}_{1}^{- 2} + {\bar{λ}}_{2}^{- 2} + {\bar{λ}}_{3}^{- 2}$
${\bar{λ}}_{i} = J^{- \frac{1}{3}} λ_{i}$
$C_{i j}$ および $D_{i}$: 材料パラメータ

超弾性コンポーネントCauchy応力は次のように計算されます：(3)

σ_{i} = \frac{λ_{i}}{J} \frac{\partial W}{\partial λ_{i}}

全応力は、ネットワークAとネットワークBの応力の和です。

$σ = {\bar{σ}}_{A} + {\bar{σ}}_{B}$

$W_{B} = S_{b} \cdot W_{A}$ なので、 ${\bar{σ}}_{B} = S_{b} \cdot {\bar{σ}}_{A}$ で、全応力は $σ = (1 + S_{b}) \cdot {\bar{σ}}_{A}$ となります。

たとえば１つの引張試験で、

S_{b} = 2

を使用すると、応力は、粘度を考慮しない（すなわち超弾性のみを考慮する）ケースの3倍となります。

C_{i j}

の特別な値について、多項式モデルは下記の材料モデルに縮小することが可能です。

Yeoh：
$j = 0$

ここで、 $C_{10}, C_{20}, C_{30}$ は、非ゼロ。

図 4.
Mooney-Rivlin：
$i + j = 1$

ここで、 $C_{10}$ と $C_{01}$ は非ゼロ、 $D_{2} = D_{3} = 0$ 。
Neo-Hookean：
$C_{10}$ と $D_{1}$ のみが非ゼロ。

ここで、

$C_{i j}$ および $D_{i}$: 準-静的材料試験データ用にカーブフィッティングを行うことで計算することのできる材料パラメータ。

RD-E：5600 超弾性材料と曲線入力には、Mooney-RivlinおよびYeoh材料モデル用のカーブフィッティングの例が含まれています。 $D_{1}$ は、体積弾性係数から計算されるか、もしくは空白のままとされます。

初期せん断弾性係数と体積弾性係数は次のように計算されます：(4)

μ = 2 (S_{b} + 1) (C_{10} + C_{01})

および(5)

K = \frac{2}{D_{1}} (1 + S_{b})

材料の体積弾性係数が既知である場合、 $D_{1}$ は計算することが可能です。もしくは、 $D_{1}$ =0である場合、非圧縮性材料が仮定されます。

粘性（速度）効果

ネットワークBでの有効クリープひずみ速度は、次のように与えられます：(6)

{\dot{ε}}_{B}^{v} = A {(\tilde{λ} - 1 + ξ)}^{C} {\frac{{\bar{σ}}_{B}}{τ_{r e f}}}^{M}

ここで、

$\tilde{λ} = \sqrt{\frac{{\bar{I}}_{1}}{3}}$
${\bar{σ}}_{B}$: ネットワークBでの有効応力。
$A, ξ, M, C$ そして $τ_{r e f}$: 入力材料パラメータ

材料定数 $A$ 、 $M$ および $C$ は、リファレンスガイドで定義されている特定の実数範囲に制限されます。制限されたデータが入手可能な場合、試行錯誤法¹を使ってこれらの定数を決定することができます。デフォルト値 $ξ, M, C$ 、 $S_{b}$ =1.6；および $A$ =5で開始します。続いて、少なくとも１つのひずみ速度についてモデルの予測と実験データとを比較し、 $A$ を調整して、ひずみ速度データにフィットするものを得ます。

参考文献

¹ Bergström, J. S., and M. C. Boyce."Constitutive modeling of the large strain time-dependent behavior of elastomers." Journal of the Mechanics and Physics of Solids 46, no. 5 (1998): 931-954