RD-E：5600 超弾性材料と曲線入力

この例題のねらいは、超弾性ゴム材料に材料試験データをどのように使用するかを説明することにあります。

Radiossは、超弾性材料則について、材料試験データ入力とパラメータ入力の両方をサポートしています。変形の状態と利用できる材料試験結果（単軸引張、2軸引張または平面引張）によって、異なる材料モデルがRadiossで使用されます。

使用されるオプションとキーワード

入力ファイル

必要なモデルファイルのダウンロードについては、モデルファイルへのアクセスを参照してください。

モデル概要

強制変位が付与され、別の側でX方向にのみ固定された単軸引張ブリック要素。

単位： mm、s、Mg、N、 MPa

表 1 は、超弾性材料モデルに使用可能な曲線入力またはパラメータ入力を示しています。

プロパティ： /PROP/SOLIDで、I_solid=24、I_smstr=10、I_cpre=1。

超弾性材料則を使用する際、推奨される要素プロパティの設定があります。ソリッド要素を使用する際は常に、可能であれば8節点/BRICK要素でメッシュすることがより良いです。可能でない場合は、/TETRA4または/TETRA10要素を使用します。

８節点ブリックに推奨される/PROP/SOLID：

I_smstr=10
I_cpre=1、I_solid=24

注: アワグラスが出現する場合は、I_solid=17とI_frame=2を使用します。

シミュレーションの反復

この例題では、工学応力vs.ひずみ試験を曲線入力およびパラメータ入力として異なる材料則でどのように使用するかを取り上げます。8 %硫化ゴムの試験データについて、図 3で収集された超弾性データが使用されます。図 3 は、材料、単軸引張、等2軸拡張および純せん断（平面引張）の特性化に最も重要である3つのひずみ状態のTreloar試験データを示しています。 ²

表 1 は、超弾性材料モデルについてRadiossでどの材料則が試験データ入力および / またはパラメータ入力を擁するかをまとめています。

表 1.
	材料則	試験データ入力	パラメータ入力
Ogden	LAW42		√
	LAW62		√
	LAW69	√
	LAW82		√
	LAW88	√
Arruda-Boyce	LAW92	√	√
Yeoh	LAW94		√

Ogdenベースの材料則の場合、試験データの曲線フィッティングにLAW69が使用され、LAW42、LAW62およびLAW82で使用可能な材料パラメータを抽出します。次に、試験データがLAW88とLAW92で使用されます。最後に、フィッティングスクリプトを用いてLAW94材料パラメータを抽出します。

結果

Ogdenモデル

LAW69を用いた試験データ入力

材料LAW69は、OgdenまたはMooney-Rivlin材料モデルを使用した超弾性で非圧縮性の材料を定義できます。通常は、非圧縮性のゴム、ポリマー、フォーム、およびエラストマーのモデル化に使用されます。OgdenまたはMooney-Rivlin材料モデルについての材料パラメータは、単軸引張（正のひずみ）および圧縮（負のひずみ）試験からの工学応力-ひずみ曲線により計算されます。Treloarからの単軸データは、引張のみです。しかしながら、非圧縮性材料については、単軸圧縮データは³からのこれらの式を用い、等しい2軸引張試験データから計算が可能です。(1)

ε_{c} = \frac{1}{{(ε_{b} + 1)}^{2}} - 1

(2)

σ_{c} = σ_{b} {(1 + ε_{b})}^{3}

ここで、

$ε_{c}$: 単軸工学圧縮ひずみ
$ε_{b}$: 2軸工学等引張ひずみ
$σ_{c}$: 単軸工学圧縮応力
$σ_{b}$: 2軸工学等引張応力

工学ひずみは、負の値（圧縮）から正の値（引張）の範囲で単調に増加する必要があります。圧縮では、-100%のひずみは物理的にあり得ないため、工学ひずみは-1.0未満でなければなりません。材料の予想されるひずみ状態を表す試験データをフィッティングすることで、特定のシチュエーションについて最も精確な材料パラメータが与えられます。引張のみの単軸応力ひずみ曲線を使うことは可能ではありますが、この例題では単軸圧縮および引張データを使って、より適した圧縮と引張の荷重条件を求めます。

これらのLAW69オプション群が本例題で使用されます：

材料パラメータ( $μ_{p}, α_{p}$ )ペアの数： N=2または3（N > 3が使用されることは稀）
fct_ID₁での単軸圧縮 / 引張試験セットからの工学応力-ひずみ曲線
$ν = 0.4997$ ：この値は、非圧縮性ゴム材料のベストフィットを得るためのものですが、後述のとおり、この値が大きいと時間ステップが小さくなるため、通常0.495の値が推奨されます。

Radioss Starterを実行後、出力ファイル（*0000.out）には、元の入力データと計算された材料のフィッティングパラメータについての応力-ひずみ曲線が含まれるようになります。計算されたフィッティングパラメータ、せん断弾性率および体積弾性率も出力に含まれます。

Starter出力ファイルの例

    FITTING RESULT COMPARISON:

      UNIAXIAL TEST DATA

      NOMINAL STRAIN     NOMINAL STRESS(TEST)       NOMINAL STRESS(RADIOSS)
           -0.9495           -221.4526                   -220.7771
           -0.9449           -176.9213                   -175.8148
           -0.9396           -138.1769                   -139.3528
           -0.9289            -93.5350                    -93.1405
           -0.9150            -60.3881                    -61.2494
           -0.8911            -35.8292                    -35.2551
           -0.8387            -15.4000                    -15.5512
           -0.7343             -5.7900                     -5.7761
           -0.6457             -3.1912                     -3.2391
           -0.5041             -1.5128                     -1.5510
           -0.4173             -1.0147                     -1.0297
           -0.3056             -0.5855                     -0.5989
           .......             .......                    ........
-------------------------------------------
AVERAGED ERROR OF FITTING :       2.00%


     FITTED PARAMETERS FOR HYPERELASTIC_MATERIAL LAW 
      ----------------------------------------
     OGDEN LAW PARAMETERS:
     MU1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .=-0.2397367723469    
     MU2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .= -11.57584346215    
     MU3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .=  11.57477242242    
     MU4 . . . . . . . . . . . . . . . . . .=  0.000000000000    
     MU5 . . . . . . . . . . . . . . . . . .=  0.000000000000    

     AL1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .= -4.548308811208    
     AL2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .=  5.714056272418    
     AL3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .=  5.714110104590    
     AL4 . . . . . . . . . . . . . . . . . .=  0.000000000000    
     AL5 . . . . . . . . . . . . . . . . . .=  0.000000000000    

     GROUND-STATE SHEAR MODULE . . . . . . .= 0.5424499939537    
     BULK MODULUS. . . . . . . . . . . . . .=  903.9025065914

試験データとRadiossデータは、材料則が入力試験データとどれほどフィッティングするかを比較するためにプロットできます。

続いて、Radioss Engineソリューション内の計算された材料パラメータが使用されます。

図 5 は、1要素モデルのシミュレーションから計算された応力-ひずみ曲線がTreloar試験データとマッチしていることを示しています。

工学応力-ひずみ曲線は、以下の式を用いてアニメーション出力/ANIM/BRICK/TENS/STRAINおよび/ANIM/BRICK/TENS/STRESSより主方向1（P1）の真応力と真ひずみから計算されました。

$ε_{e} = λ - 1$

$σ_{t r} = λ \cdot σ_{e}$ 、 $ε_{t r} = \ln (λ)$

$σ_{e} = \frac{σ_{t r}}{ε_{e} + 1}$ 、 $ε_{e} = e^{ε_{t r}} - 1$

ポアソン比と体積弾性率の影響

LAW69では、フィッティングされたOgdenパラメータは非圧縮性材料の仮定に基づいています。すなわち、

ν = 0.5

。しかしながら、これは無限体積弾性率、無限音速、ひいては無限に小さいソリッド要素時間ステップをもたらすため、実践的には

ν = 0.5

を使用するのは不可能です。 (3)

K = μ \cdot \frac{2 (1 + ν)}{3 (1 - 2 ν)} = μ \cdot \frac{2 (1 + ν)}{3 (1 - 2 * 0.5)} = \infty

異なるポアソン比入力の影響は、図 6に見られます。結果のうち最も大きな差は、より多くの量のひずみです。このとき、結果は試験データとより良く合致しますが、時間ステップは $ν = 0.495$ の1/4となります。したがって、計算時間と精度のバランスをとるために、非圧縮性ゴム材料には $ν = 0.495$ を使用することが推奨されます。

ポアソン比と体積弾性率の影響は、他のOgden材料則と同様になります。

LAW88を用いた試験データ入力

LAW88は、ひずみ速度依存の載荷曲線と除荷曲線の入力をサポートします。この法則では、単軸試験データを使用することによって、Ogden式を精確にフィットさせることができます。LAW69からの体積弾性率と単軸試験データ入力を使うことで、LAW88はLAW69よりも良好に試験曲線を合致させます。体積弾性率が試験データから入手できない場合、LAW69を体積弾性率の計算に使用し、これは引き続きStarter出力ファイル*0000.outに書き出されます（上に示すとおり）。

注: LAW88では、圧縮と引張の両方を含む単軸試験データを使用することが推奨されます。

単軸引張データのみが入手可能な場合、LAW69は、真応力と真ひずみを工学応力と工学ひずみに確実に変換するよう、1つの要素を圧縮し、圧縮性応力ひずみを抽出するために使用できます。ここで、圧縮性データは単軸引張データと共に含まれ、LAW88で使用されます。この回避策はおそらく、異なるひずみ速度でLAW88が単軸引張応力ひずみデータと使用される場合に限って役立つでしょう。

LAW42、LAW62、LAW82でのパラメータ入力

LAW69から計算されたOgden材料パラメータは、Radiossで他のOgden材料則LAW42, LAW62およびLAW82で入力として使用することができます。

LAW42の場合、LAW69フィッティングOgdenパラメータはStarter出力から取得され、LAW42で入力として使用されることが可能です。
LAW42(4) $W = \sum_{p = 1}^{2} \frac{μ_{p}}{α_{p}} ({\bar{λ}}_{1}^{α_{p}} + {\bar{λ}}_{2}^{α_{p}} + {\bar{λ}}_{3}^{α_{p}} - 3)$
LAW62およびLAW82の場合、OgdenパラメータはLAW69フィッティングOgdenパラメータから変換される必要があります。これは、Ogdenモデル式がLAW62とLAW82においては異なるためです。
N=2のOgdenモデルを考えると、LAW42とLAW82で用いられるエネルギー密度関数は、ここでは非圧縮性材料用に示されます。

LAW62（およびLAW82）(5) $W = \sum_{i = 1}^{2} \frac{2 μ_{i}}{α_{i}^{2}} ({\bar{λ}}_{1}^{α_{i}} + {\bar{λ}}_{2}^{α_{i}} + {\bar{λ}}_{3}^{α_{i}} - 3)$

材料則をLAW42からLAW62またはLAW82に変換するために、以下の式を使用することができます。

LAW62: $α_{i}^{L A W 62} = α_{i}^{L A W 42}$; $μ_{i}^{L A W 62} = \frac{μ_{i}^{L A W 42} \cdot α_{i}^{L A W 42}}{2}$
LAW82: $α_{i}^{L A W 82} = α_{i}^{L A W 42}$; $μ_{i}^{L A W 82} = \frac{μ_{i}^{L A W 42} \cdot α_{i}^{L A W 42}}{2}$

図 9 は、LAW69からLAW82に変換された材料フィッティングパラメータが、Ogden次数N=2についてLAW69およびLAW42結果と合致することを示しています。

LAW42、N=2の例

#RADIOSS STARTER
/UNIT/1
UNIT FOR MAT
                  Mg                  mm                   s
#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|
#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|
/MAT/OGDEN/1/1
rubber LAW42
#              RHO_I
                1E-9
#                 Nu           sigma_cut           funIDbulk         Fscale_bulk         M     Iform
               .4997                   0                   0                   0         0         0
#               Mu_1                Mu_2                Mu_3                Mu_4                Mu_5
 1.2732565785698E-05    -0.2635330119696                   0                   0                   0
# blank card

#            alpha_1             alpha_2             alpha_3             alpha_4             alpha_5
      7.168617832124     -4.158214786551                   0                   0                   0
# blank card

#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|
#enddata

LAW82、N=2の例

#RADIOSS STARTER
#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|
/MAT/LAW82/1
rubber LAW82
#              RHO_I
                1E-9                   0
#        N                            Nu
         2                         .4997
#               Mu_i
0.000045637449070023   0.547913433558156                   0                   0                   0
#            Alpha_i
      7.168617832124     -4.158214786551                   0                   0                   0
#                D_i
                   0                   0
#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|
#enddata

Arruda-Boyceモデル

Arruda-Boyce材料モデル（/MAT/LAW92）は、試験データ入力と材料パラメータ入力の両方を受容します。試験データの使用時は、以下の3つの異なる試験データ入力が使用できます。

LAW92では、曲線入力が使用されると、パラメータラインは空白のまま残されます。一度に考察される試験データタイプは1つのタイプのみです。

LAW92、Itype=1の例

#RADIOSS STARTER
#-  2. MATERIALS:
/UNIT/1
UNIT FOR MAT
                  Mg                  mm                   s
#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|
#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|
/MAT/LAW92/1/1
rubber
#              RHO_I
            1.000E-9
#                 mu                   D                 LAM
                   0                   0                   0
#    IType    fct_ID                  NU
         1         3               .4997
#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|
#ENDDATA
#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|

Radioss Starterの実行後、出力ファイル（*0000.out）にはRadiossフィッティングArruda-Boyce曲線およびパラメータが含まれるようになります。

-------------------------------------------
AVERAGED ERROR OF FITTING :      12.72%


     FITTED PARAMETERS FOR HYPERELASTIC_MATERIAL LAW 
      ----------------------------------------
      ARRUDA-BOYCE  LAW 
     MU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= 0.3023683957840    
     D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= 3.8695518555789E-03
     LAM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=  4.917777266862    
     GROUND-STATE SHEAR MODULE. . . . . . . . .= 0.3101754654817    
     BULK MODULUS . . . . . . . . . . . . . . .=  516.8557173143

Radioss Engineが実行されると、フィッティングされたArruda-Boyceパラメータ $μ, D, λ_{m}$ は、超弾性材料内の応力-ひずみ挙動の計算に使用されます。したがって、上記のフィッティングされたArruda-BoyceパラメータがLAW92入力として使用されると、結果は同じになります。

LAW92のパラメータ入力との例

#RADIOSS STARTER
#-  2. MATERIALS:
/UNIT/1
UNIT FOR MAT
                  Mg                  mm                   s
#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|
#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|
/MAT/LAW92/1/1
rubber
#              RHO_I
            1.000E-9
#                 mu                   D                 LAM
     0.3023683957840 3.8695518555789E-03      4.917777266862
#    IType    fct_ID                  NU

#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|
#ENDDATA
#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|

図 13 は、LAW92で曲線入力とパラメータ入力を用いた同じ結果を示しています。

注: せん断係数

μ

とストレッチの限界

λ_{m}

が正の値である場合、Arruda-Boyce材料モデルは常に安定です。

試験データ入力の使用時、異なるポアソン比入力を使用すると、異なるフィッティング

D

パラメータがもたらされます。

D

材料パラメータは、体積弾性率

K = \frac{2}{D}

の計算に使用されます。

: LAW92曲線入力でのフィッティング $D$
$ν = 0.495$: 6.4695283364675E-02
$ν = 0.4997$: 3.8695518555789E-03

LAW92では1つの試験タイプ（Itype）しか使用できません。異なる試験データのタイプごとに、別々のArruda-Boyceパラメータが計算されます。単軸試験タイプがLAW92が使用されている場合、2軸またはせん断挙動よりも良好な単軸変形挙動を描写します。起こり得るすべての変形挙動をより良く描写するためにエンジニアは、3つの異なる試験タイプからそれぞれ

μ, D, λ_{m}

について正しい重量を設定します。(6)

μ = \frac{1}{3} μ^{u n i a x i a l} + \frac{1}{3} μ^{e q u i b i a x i a l} + \frac{1}{3} μ^{p l a n a r}

(7)

D = \frac{1}{3} D^{u n i a x i a l} + \frac{1}{3} D^{e q u i b i a x i a l} + \frac{1}{3} D^{p l a n a r}

(8)

λ_{m} = \frac{1}{3} λ_{m}^{u n i a x i a l} + \frac{1}{3} λ_{m}^{e q u i b i a x i a l} + \frac{1}{3} λ_{m}^{p l a n a r}

Yeohモデル

Yeohモデル（/MAT/LAW94 (YEOH)）は現時点では、材料パラメータ入力のみをサポートしています。したがって、Radiossの外でYeoh材料パラメータを計算する必要があります。この例題については、Yeohパラメータの計算に、 Composeスクリプトが用意されています。

注: スクリプトは、RD-E: 5600用の入力ファイルと同じフォルダーに見つかります。

このフィッティングスクリプトは、非圧縮性（

J = 1

）超弾性材料を仮定しています。そこで、Yeohのひずみエネルギー密度は次のようになります：(9)

W = C_{10} {({\bar{I}}_{1} - 3)}^{1} + C_{20} {({\bar{I}}_{1} - 3)}^{2} + C_{30} {({\bar{I}}_{1} - 3)}^{3}

Yeohモデルは ${\bar{I}}_{1} = {\bar{λ}}_{1}^{2} + {\bar{λ}}_{2}^{2} + {\bar{λ}}_{3}^{2}$ にのみ依存するため、Yeoh材料パラメータの計算には単軸試験のみが必要です。ここで、 $λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}$ は主方向1、2、3での伸びで、 $λ_{i} = ε_{i} + 1$ です。 $ε_{i}$ は、主方向 $i$ の工学ひみです。

単軸試験

$λ_{1} = λ$ および $λ_{2} = λ_{3} = λ^{- \frac{1}{2}}$

ここで、

{\bar{λ}}_{k} = J^{- 1 / 3} λ_{k}

および

J = λ_{1} λ_{2} λ_{3}

で、

{\bar{I}}_{1}

は次のように得られます：(10)

{\begin{matrix} {\bar{λ}}_{1} = J^{- 1 / 3} λ_{1} = λ_{1}^{2 / 3} {(λ_{2} λ_{3})}^{- 1 / 3} = λ \begin{matrix}  \end{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix} \\ {\bar{λ}}_{2} = J^{- 1 / 3} λ_{2} = λ_{2}^{2 / 3} {(λ_{1} λ_{3})}^{- 1 / 3} = λ^{- 1 / 2} \\ {\bar{λ}}_{3} = J^{- 1 / 3} λ_{3} = λ_{3}^{2 / 3} {(λ_{1} λ_{2})}^{- 1 / 3} = λ^{- 1 / 2} \end{matrix}

$\Rightarrow {\bar{I}}_{1} = {\bar{λ}}_{1}^{2} + {\bar{λ}}_{2}^{2} + {\bar{λ}}_{3}^{2} = λ^{2} + λ^{- 1} + λ^{- 1} = λ^{2} + 2 λ^{- 1}$

また、YeohモデルのCauchy応力は次のように計算されます：(11)

σ_{i} = \frac{λ_{i}}{J} \frac{\partial W}{\partial λ_{i}}

単軸試験では、主方向1のCauchy応力は：(12)

σ_{1} = \frac{λ_{1}}{λ_{1} λ_{2} λ_{3}} \frac{\partial W}{\partial λ_{1}} = \frac{1}{λ^{- 1 / 2} λ^{- 1 / 2}} \frac{\partial W}{\partial λ} = λ \frac{\partial W}{\partial λ}

コマンドウィンドウでComposeスクリプトを実行し、フィッティングYeohパラメータ

C_{i 0}

を得ます：

次に、曲線フィッティング $C_{i 0}$ 値がLAW94で使用され、元の試験データと結果が比較されます。この例では、 $ν = 0.4997$ を用いて、試験データへの良好なフィッティングを得ています。 $D_{1}$ はここで $D_{1} = \frac{3 (1 - 2 v)}{μ (1 + v)}$ から計算されます。

ここで、 $μ = 2 \cdot C_{10}$ .

LAW94の入力の例

#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|
/MAT/LAW94/1
plastic
#              RHO_I        
              1.0E-9 		
#Blank

#                C10                 C20                 C30
   0.184883390008739  -0.001996532878013   0.000047314869715
#                 D1                  D2                  D3
   0.003245938015181
#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|
#ENDDATA
#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|

参考文献

¹ Treloar, L. R. G. "Stress-strain data for vulcanised rubber under various types of deformation." Transactions of the Faraday Society 40 (1944): 59-70.

² Miller, Kurt. "Testing Elastomers for Hyperelastic Material Models in Finite Element Analysis" Axel Products, Inc., Ann Arbor, MI (2017).Last modified April 5, 2017

http://www.axelproducts.com/downloads/TestingForHyperelastic.pdf

³ Axel Products, Inc. "Compression or Biaxial Extension" Ann Arbor, MI (2017).Last modified November 12, 2008

http://www.axelproducts.com/downloads/CompressionOrBiax.pdf