RD-E：0800 Hopkinsonバー

この例の目的は、衝撃時の材料に対する非常に高いひずみ速度の応答をモデル化して予測することです。

Split-Hopkinson圧力バー実験を使用した7010アルミ鋳物の高ひずみ速度の特性化。

高速衝撃の正確なモデル化を可能にするためには、高いひずみ速度の材料の正確なデータが必要になります。材料の高ひずみ速度の特性化は通常Split-Hopkinson圧力バーを用いてひずみ速度範囲100-10000 s^-1内で測定されます。実験中、試験体は単軸応力で変形し、試験体のバーの接合部分は全ての時間で平面を保ち、試験体の応力つり合いは経過時間を用いて得られると仮定します。Radioss陽解法有限要素法コードがこれらの仮定の調査に用いられます。

使用されるオプションとキーワード

使用する単位：　g mm s MPa

/QUAD：全体座標のYZ平面で定義される2Dソリッド要素
/ANALY：解析のタイプを定義し、解析フラグを設定します
/MAT/LAW1 (ELAST)：Hookeの法則を使用した等方性線形弾性材料
/MAT/LAW2 (PLAS_JOHNS)：Johnson-Cook材料モデルを使用した等方性弾塑性材料
/PROP/TYPE14（SOLID）：一般的なソリッドプロパティセット
/IMPVEL：節点グループに対する強制速度
/BCS：境界条件）

出力バーの下端の節点はZ方向に拘束されます。回転対象軸上の軸対称条件はX方向の並進とX軸周りの回転の拘束が必要になります。

飛翔体はスチールの円筒を用いてZ方向の強制速度でモデル化されます。必要なひずみ速度は2つの強制速度1.7 ms^-1と5.8 ms^-1で試験体のひずみ速度範囲80 s^-1と900 s^-1（低速と高速）を考慮するために与えられます。

真応力、真ひずみと真ひずみ速度は時刻歴から測定されます。

実験では、ひずみゲージが試験体に取り付けられます。シミュレーションでは、真ひずみは9040と6節点のZ方向相対変位（ $l_{0}$ = 3.83638mm）から決められます。

真応力は、2つのデータソースから与えることができます。最初の方法論は、バー-試験体の力の1次元伝播の仮定に基づく、前に示された式を用いる方法です。出力応力波に伴う工学ひずみ $ε_{t}$ は出力バーの節点のZ方向変位から得られます。真塑性ひずみは時刻歴応答ファイルにセーブされた試験体の2次元ソリッド要素から取り出すことができます。真応力は、Z応力の2次元ソリッド6243、6244、6224、6235の平均値を用いて時刻歴から直接測定することもできます。断面オプションは2次元ソリッド要素で利用可能ではないことに注意してください。

ひずみ速度は/TH/QUADに保存された真塑性ひずみまたは真ひずみ

ε_{true}

のいずれかより計算できます。

表 1. 解析で用いられた関係
	高速試験
真応力	$σ_{t r u e} (t) = \frac{S_{b a r} E_{b a r}}{S_{s p e c i m e n}} ε_{T} (t) \exp (ε_{p l} (t))$	/THに保存された2次元ソリッドからのZ方向応力の平均
真ひずみ	$ε_{t r u e} (t) = \ln (\frac{l_{i} (t)}{l_{0}}) l_{i} (t) = l_{0} + Δ l = l_{0} + (u_{9040} (t) - u_{6} (t))$
真ひずみ速度	$\dot{ε} = \frac{Δ ε_{p l} (t)}{Δ t}$	$\dot{ε} = \frac{Δ ε_{t r u e} (t)}{Δ t}$

入力ファイル

必要なモデルファイルのダウンロードについては、モデルファイルへのアクセスを参照してください。

本例題で使用されるモデルファイルは下記のとおり：

SHPB_H_*.rad

SHPB_L_*.rad

モデル概要

この例の目的は、衝撃時の材料に対する非常に高いひずみ速度の応答をモデル化して予測することです。

Split-Hopkinson圧力バーは、高いひずみ速度で実験を行うのに適した方法です。

図 3 は、以下で構成される主要な試験のセットアップを示しています：

同じ長さのインシデントバーとトランスミッションバーがあり、その間に試験体が挟み込まれています。
インシデントバーの外端にストライカーが取り付けられています。スチールの飛翔体がストライカーに当たると、応力パルスがインシデントバーに導入されます。

衝撃によって発生したひずみ（引張）波がインシデントバーを伝播し、ひずみゲージ1によって検出されます。波の一部は反射し、一部は試験体の接合部分を通して伝達されます。そのようにして、応力パルスは試験体内部を通り抜けてトランスミッションバーに入ります。ひずみ波信号を検出するために、インシデントバーとトランスミッションバーにひずみゲージ1とひずみゲージ2が取り付けられています。サンプル内部での反射波が試験の間の応力を均一化することを可能にします。出力または伝達される応力波に伴うひずみが出力または伝達バーのひずみゲージにより測定されます。試験体の測定長さに取り付けられたひずみゲージで実験の間の試験体の真ひずみと真塑性ひずみを直接測定します。伝達される弾性波が試験体接合部への直接の力の測定を、以下の関係式の方法によりもたらします。

(1)

F (t) = S_{b a r} \cdot E_{b a r} \cdot ε_{T} (t)

ここで、

$E_{b a r}$: 出力バーの弾性係数。
$ε_{T}$: 出力応力波でのひずみ。
$S_{b a r}$: 出力バーの断面積

2つのバーが弾性を保ち、波動の消散が無視できる場合、測定される応力パルスは試験体に作用するものと同じと仮定できます。

試験体内の公称応力値は、波動の解析により、伝達される波動を用いて決めることができます：(2)

σ_{e n g i n e e r i n g} (t) = \frac{F (t)}{S_{s p e c i m e n}} = \frac{S_{b a r} E_{b a r}}{S_{s p e c i m e n}} ε_{T} (t)

公称応力はインシデントに作用する反射波と伝達波での力の平均からも得られ、次の式で示されます：(3)

σ_{e n g i n e e r i n g} (t) = \frac{S_{b a r} E_{b a r}}{2 S_{s p e c i m e n}} [ε_{l} (t) + ε_{R} (t) + ε_{T} (t)]

ここで、

$ε_{I}$ および $ε_{R}$: 入力応力波に対するひずみ。
$ε_{T}$: 出力応力波に対するひずみ。

試験体の真応力は次の関係式で計算することができます（詳細については例題 11 - 引張試験をご参照ください）：(4)

σ_{t r u e} = σ_{e n g i n e e r i n g} \exp (ε_{t r u e})

真ひずみは以下で与えられます：(5)

\dot{ε} = \frac{Δ ε_{t r u e}}{Δ t}

真応力と真ひずみは破壊の点まで評価できます。

インターフェース1: $F_{1} = S_{b a r} [σ_{l} (t) + σ_{R} (t)] = S_{b a r} \cdot E_{b a r} [ε_{l} (t) + ε_{R} (t)]$
インターフェース2: $F_{2} = S_{b a r} \cdot σ_{T} (t) = S_{b a r} \cdot E_{b a r} \cdot ε_{T} (t)$
試験体のバランス: $F_{1} = F_{2}$ 、 $ε_{l} (t) + ε_{R} (t) = ε_{T} (t)$
試験体の公称応力: $σ_{s p e c i m e n} (t) = \frac{F_{1}}{S_{s p e c i m e n}} = \frac{F_{2}}{S_{s p e c i m e n}}$

ひずみ速度フィルタリング

動的荷重のために、ひずみ速度には物理的ではない高い周波数の振動が生じます。このため、応力-ひずみ曲線にはノイズが現れます。滑らかな結果を得るためにひずみ速度のフィルタリングオプションで高周波振動を除去してこのような振動を減衰させることができます。この例では、ひずみ速度のフィルタリングのためにカットオフ周波数F_cut = 30 kHzが使用されました。詳細については、RD-E：1100 引張試験をご参照ください。

Johnson-Cookモデル

Johnson-Cookモデルは、以下の式を用いて応力を塑性ひずみとひずみ速度の関係式で記述します：(6)

σ = \underset{\begin{array}{l} Influence of \\ plastic strain \end{array}}{\underset{︸}{(a + b ε_{p}^{n})}} \underset{\begin{array}{l} Influence of \\ strain rate \end{array}}{\underset{︸}{(1 + c \ln \frac{\dot{ε}}{{\dot{ε}}_{0}})}}

ここで、

$\dot{ε}$: ひずみ速度。
${\dot{ε}}_{0}$: 参照ひずみ速度
$ε_{p}$: 塑性ひずみ（真ひずみ）。
$a$: 降伏応力。
$b$: 硬化パラメータ
$n$: 硬化指数
$c$: ひずみ速度係数。

2つのオプション入力、ひずみ速度係数と参照ひずみ速度がそれぞれの材料の/MAT/LAW2で応力のひずみ速度効果を考慮するために定義する必要があり、これでひずみ速度が増加したときに応力が増加します。定数 $a$ 、 $b$ 、および $n$ は応力-ひずみ曲線の形状を定義します。

CRAHVI, G4RD-CT-2000-00395, D.1.1.1, Material Tests – Tensile properties of Aluminum Alloys 7010T7651およびAU4G Over a Range of Strain Ratesというタイトルの文書では、7010アルミニウム鋳物は以下の関係で記述できます：

$σ = (496 + 225 ε^{0.35})$: ひずみ速度80 s^-1未満
$σ = (496 + 225 ε^{0.35}) (1 + 0.16 \ln (\frac{\dot{ε}}{0.08}))$: ひずみ速度80 s^-1から3000 s^-1まで

試験体の材料特性は：

材料特性
ヤング率: 73000 $[MPa]$
ポアソン比: 0.33
密度: 0.0028 $[\frac{g}{m m^{3}}]$

バード飛翔体に用いられる材料はTYPE1（線形弾性）で以下の特性を持ちます：

材料特性
ヤング率: 210000 $[MPa]$
ポアソン比: 0.33
密度: 0.0078 $[\frac{g}{m m^{3}}]$

バーと飛翔体の幾何学的特性は：

バー
長さ: 4 m
直径: 12 mm

飛翔体
半径: 12 mm
重量: 170g

モデリング手法

形状の回転対称を考慮し、材料と運動条件で、軸対称モデルが用いられます（Starterファイルの/ANALYオプションでN2D3D = 1を設定）。Yが半径方向で、Zが回転軸となります。

メッシュは12054の2Dソリッド要素（QUAD）からなります。2Dソリッドの寸法は約2mmです。

結果

試験の目的は、高い変形速度での結果を取得することです。このモデルでは、Johnson-Cookタイプの材料則が使用されます。応力の増加は、準静的変形速度と比較して、応力を約30%上回ると予想されます。

実験データ

実験結果は真引張り流れの応力の真ひずみとの比較においてひずみ速度80 s^-1と100 s^-1の間においてはほぼ等価であることを示しています。Johnson-Cookモデルの参照ひずみ $ε_{R}$ は、0.08 ms^-1（80 s^-1に対応します。これは準静的変形速度を表します）に設定されています。高い変形速度では、真の流れの応力はひずみ速度の増加とともに大きく増加します。7010アルミ鋳物では高いひずみ速度（900 s^-1 – 3000 s^-1）においては、準-静的な値に比較し、一般的に流れの応力が30%の値までの増加を示します。

結果は特定の真ひずみ0.02、0.05と0.10に対して与えられます。ひずみ速度の応力への影響は、図 8で見ることができます。 ¹

試験はひずみ速度900 s^-1で実施され、ひずみ0.25で流れの応力は850

[MPa]

に達しています。

表 2. 両方のひずみ速度を用いた特定のひずみにおける真応力（実験データ）
	ひずみ速度： 80 s^-1			ひずみ速度：900 s^-1
真ひずみ	0.02	0.05	0.1	0.02	0.05	0.1	0.25
真塑性ひずみ	0.012	0.042	0.092	0.011	0.039	0.089	0.238
真応力（MPa）	550	600	610	625	775	800	850

Johnson-Cookモデル

図 9 は、応力の時間変化をバーに沿っての波動伝播との関係で示します。応力は入力バー、試験体とトランスミッションバーで評価されています。

応力-時間曲線は衝撃、反射、伝達の信号を示しています。

バーに沿っての波動速度

C

は以下の関係を用いて計算されます：(7)

C = \sqrt{\frac{E}{ρ}} = 5189 m s^{- 1}

ここで、

$E$: ヤング率
$ρ$: バーの密度

要素の時間ステップは試験体のある最も小さい要素でコントロールされます。これは5x10^-5に設定されます。したがって、応力波は0.77 msで試験体に到達し、それぞれの時間ステップでバーに沿って0.26 mm進みます。明らかに、これは最小寸法の要素長さ（0.88 mm）よりも小さいです。

強制速度5.8 ms^-1で試験体に約900 s^-1のひずみ速度を生成し、ひずみ速度約80 s^-1では強制速度1.7 ms^-1で達します。シミュレーションはそれぞれの速度の値で実行されます。

注: 低速での検討は、出力バーの最上部で反射波が生成されるために高速の場合よりも時間に関して制限されます。

図 13 にひずみ速度の関数としての真応力と真ひずみの関係を示します。

高ひずみ速度（900/s）では、流れの応力が増加し低ひずみ速度（80/s）で得られた応力よりも約30%高いことが見られます。Johnson-Cookモデルを用いて、実験結果と比較して精度のよい結果が得られています。

両方の方法で決められた真応力を横に並べて示します。これで伝達される波動に基づいた解析を検証します。強制速度が5.8 ms^-1に等しい場合のモデルの典型的な曲線を下に示します（図 15および図 16）。

ひずみ速度の評価に用いたどちらのデータソースも同様の結果を与えています。

以下の結果が示されます：

スムージングのためのカットオフ周波数（100 kHz）の有り無しによる応力のひずみ速度効果：
ひずみ速度係数の影響（実験データとの比較）

これらの検討は高ひずみ速度のモデル（ $ε$ = 900 s^-1）で実行されています。

図 19 は、試験体のt=0.6 msでの応力分布をひずみ速度のフィルタリングのあり / なしで比較しています。

フィルタリングを使用し、より物理的な流れの応力が得られています。陽解法はエレメント-バイ-エレメントの手法で、時間的な振動の局所的な取り扱いがメッシュ内に空間的な振動を加えます。

¹ CRAHVI, G4RD-CT-2000-00395, D.1.1.1, Material Tests - Tensile properties of Aluminum Alloys 7010T7651 and AU4G Over a Range of Strain Rates.