非線形過渡解析

非線形小変位過渡応答および非線形大変位過渡応答（LGDISP）解析は現時点では、過渡の効果を含む非線形問題を解くために使用することができます。

微小変位の非線形準-静的解析と非線形過渡応答解析との主な違いは、エネルギー方程式の解に慣性とモーメントの項が含まれるかどうかです。この非線形過渡応答解析タイプは、幾何学的非線形性、材料非線形性および接触を含む、NLSTAT によってサポートされるすべての非線形フィーチャーをサポートします。非線形過渡応答解析とNLSTATとの間のサブケースの継続処理機能もサポートされます。

非線形性ソース

幾何学的非線形性

幾何学的非線形性を含む解析では、構造変形としての形状変化は構成方程式と釣り合い方程式の定式化に基づいて考慮されます。多くの工学的分野において、幾何学的非線形性に基づく大変位解析を使用する必要があります。金属成形、タイヤ解析、医療装置解析などの応用例がこれに該当します。幾何学的非線形性に基づく微小変形解析は、ケーブル、アーチ、シェルに関係する解析などの一部の応用例で必要とされます。こうした応用例においては、大きな変位または回転を除く微小変形の現象が関連します。

材料の非線形性

材料の非線形性には、現在の変形状態、変形の履歴、変形率、温度、圧力などに基づく材料の非線形挙動が関係します。

拘束と接触の非線形性

システム内の拘束の非線形性は、モデル内に運動学的拘束条件が存在する場合に発生します。モデルの運動学的自由度は、その動きに制約を課すことで拘束できます。OptiStructでは、拘束条件はラグランジュ乗数によって適用されます。

接触の場合、拘束条件は不等式に基づいており、一般的にこうした拘束では、接触する２つのボディ間の貫通は許可されません。

追従荷重

大変形が含まれる際、適用される荷重は構造の変形に依存することがあります。幾何学的には、適用される荷重（力または圧力）は、荷重のかかる位置においてモデルがどのように変形するかに基づき、その初期方向から変化し得ます。OptiStructでは、適用される荷重が追従荷重として扱われる場合、その荷重の向きまたは統合された大きさ、またはその両方は、解析全体を通して幾何形状の変化と共に更新されます。

非線形過渡解法

非線形過渡応答解析は、時間領域でのソリューションを通して行われます。時間-離散化方程式は、ニュートン法を使用して解かれます（NLSTATと同様）。非線形過渡応答解析には、2つの時間ステップスキームが用意されています。TSTEPエントリ上のTMTDフィールドは、2つの積分法間を切り替えるために使用できます。それらは、一般化アルファ法（TMTD=1、デフォルト）と後退オイラー法（TMTD=2）です。

一般化アルファ法

一般化アルファ法では、釣り合い方程式は次のようなかたちをとります：(1)

f_{e x t}^{t + α h} = M ((1 - α_{m}) a^{t + h} + α_{m} a^{t}) + C v^{t + h} + f_{i n t}^{t + α h}

ここで、

$M$: 質量
$C$: 粘性減衰
$K$: 剛性マトリックス
$f$: 全荷重、

下付き文字 $e x t$ は外力、 $i n t$ は内力を表します。上付き文字 $t$ と $t + h$ は変数が計算される際の時間を表し、 $t$ は変位の増分が解かれる際の前の時間、 $t + h$ は現在の時間です。ラグランジュ座標は $x$ で示され、 $x$ の材料時間導関数は $v$ （速度）と $a$ （加速度）で示されます。

現在時刻の速度と加速度は、パラメータ

γ

および

β

を指定することによってNewmark近似で計算されます。(2)

v^{t + h} = v^{t} + h ((1 - γ) a^{t} + γ a^{t + h})

(3)

u^{t + h} = u^{t} + h v^{t} + \frac{1}{2} h^{2} ((1 - 2 β) a^{t} + 2 β a^{t + h})

上付き文字

t + α h

は、次のように一般量

z

を示します：(4)

z^{t + α h} = (1 + α) z^{t + h} - α z^{t}

特殊なケースとして、加速度はパラメータ

α_{m}

を使用して補間されます。(5)

a^{t + α h} = (1 + α_{m}) a^{t + h} - α_{m} a^{t}

上記の式から、一般化アルファ法は4つの無次元パラメータ（

α, β, γ,

および

α_{m}

）によってコントロールされていると言うことができます。

α_{m} = 0.0

または

α = α_{m} = 0.0

とすると、この手法はそれぞれHHT-

α

法またはNewmark-

β

法に縮退されます。パラメータは次のように選択できます：(6)

[- \frac{1}{3} < α \leq 0]; [β \geq \frac{1}{4} - \frac{1}{2} (α_{m} + α)]; [- 1 \leq α_{m} < \frac{1}{2}]

α_{m}

および

α

が与えられている場合、その方法の無条件な安定（線形問題の場合）、2次精度、最大化された高周波散逸が確保されるようにする、

γ

および

β

のデフォルト値は次のようになります：(7)

[γ = \frac{1}{2} - (α_{m} + α)]; [β = \frac{1}{4} {(1 - α_{m} - α)}^{2}]

デフォルトでは、 $α_{m} = 0.0$ および $α = - 0.05$ です。つまり、デフォルトスキームはHHT- $α$ 法です。

一般化アルファ法は、ニュートン法を使用して解かれます。それぞれの反復

Δ u^{t + h}

で、変位の増分

Δ u^{t + h} = u^{t + h} - u^{h}

が解かれます。サブスクリプトは、反復回数を示します。(8)

K^{*} Δ u_{j + 1}^{t + h} = f_{e x t}^{t + h} - f_{i n t}^{t + α h} - M a_{j}^{t - α_{m} h} - C v_{j}^{t + h}

(9)

K^{*} = \frac{1 - α_{m}}{β h^{2}} M + (1 + α) \frac{γ}{h β} C + (1 + α) K_{j}

(10)

a_{j}^{t - α_{m} h} = α_{m} a^{t} + (1 - α_{m}) a_{j}^{t + h} = α_{m} a^{t} + (1 - α_{m}) (\frac{1}{β h^{2}} Δ u_{j}^{t + h} - \frac{1}{β h} v^{t} - \frac{1 - 2 β}{2 β} a^{t})

(11)

v_{j}^{t + h} = v^{t} + h ((1 - γ) a^{t} + γ a_{j}^{t + h})

後退オイラー法

後退オイラー法では、釣り合い方程式は次のようなかたちをとります：(12)

f_{e x t}^{t + α h} = M a^{t + h} + C v^{t + h} + f_{i n t}^{t + α h}

(13)

v^{t + h} = \frac{u^{t + h} - u^{t}}{h}

(14)

a^{t + h} = \frac{v^{t + h} - v^{t}}{h}

ここで、

$M$: 質量
$C$: 粘性減衰
$K$: 剛性マトリックス
$f$: 全荷重、

後退オイラー法も、ニュートン法を使用して解かれます。それぞれの反復

Δ u^{t + h}

で、変位の増分

Δ u^{t + h} = u^{t + h} - u^{h}

が解かれます。サブスクリプトは、反復回数を示します。(15)

K^{*} Δ u_{j + 1}^{t + h} = f_{e x t}^{t + h} - f_{i n t}^{t + h} - M a_{j}^{t + h} - C v_{j}^{t + h}

(16)

K^{*} = \frac{1}{h^{2}} M + \frac{1}{h} C + K_{j}

(17)

a_{j}^{t + h} = \frac{1}{h^{2}} Δ u_{j}^{t + h} - \frac{1}{h} v^{t}

(18)

v_{j}^{t + h} = \frac{1}{h} Δ u_{j}^{t + h}

後退オイラー法の唯一のパラメータは、タイムステップ $h$ です。

後退オイラー法では、TSTEPエントリのTCiフィールドの入力は必要ありません。AlphaおよびBetaフィールドは、特定のサブケース内の粘性減衰マトリックス $C$ が $C = α M + β K$ となるように、サブケース依存のRayleigh減衰を導入します。

ほとんどの非線形過渡応答解析では、通常、一般化アルファ法を使用する必要があります。この方法では、パラメータ $α$ 、 $β$ 、 $γ$ および $α_{m}$ によって数値減衰を調整できます。特に、ゼロ以外の $α$ および $α_{m}$ では、高周波数応答成分の減衰が導入されます。ただし、後退オイラー法は散逸的であり、したがって非常に安定しているため、座屈後解析のような準-静的解析で使用できます。

自動タイムステップ

この非線形過渡応答解析は、局所打ち切り誤差（LTE）に基づいて自動タイムステップを提供します。

HHT-

α

法は、方法を導出するための例として使用され、他の方法が同様のステップに従います。テーラー展開によりHHT-

α

法を使用して、時間

t

から

t + h

の変位

u

のLTEは次のようになります：(19)

\begin{array}{l} e = \frac{1}{6} h^{3} \overset{⃛}{u} (τ) \\ t < τ < t + h \end{array}

加速度を使用すると、

e

は次のように近似できます：(20)

e = \frac{1}{6} h^{2} | Δ a |

連成マルチDOFシステムの場合、上記の絶対値は、

Δ a

の特定のノルムに置き換えられます。ここでは、次のようになるように、質量加重ノルムが使用されます：(21)

e = \frac{1}{6} h^{2} {(Δ a^{T} M Δ a)}^{\frac{1}{2}}

前の方程式での誤差推定には、正規化が必要となります。これは、それが初期変位やカットオフ周波数などの特定の参照変位に依存するためです。正規化された誤差推定は、次のようになります：(22)

\tilde{e} = \frac{e}{K_{Ω} ‖ u_{R} ‖}

ここで、

K_{Ω}

は、単位初期変位と約10サイクル / 秒における振動またはカットオフ周波数

Ω = ω h = 0.6

（

ω

は、シングルDOFシステムの固有振動数）がある線形非減衰シングルDOFオシレーターの時間平均LTEです。

‖ u_{R} ‖

は、それ以前のすべての時間ステップに跨る変位ノルムの最大値。(23)

‖ u_{R} ‖ = \max_{1 \leq j \leq n} (‖ u_{j} ‖)

ここで、 $u_{j}$ はタイムステップにおける変位、 $j$ 。

ノルムは次のように定義されます：(24)

‖ u_{j} ‖ = \sqrt{{(u_{j})}^{T} M (u_{j})}

タイムステップは、次の条件に基づいて自動的に調整されます（TOLは、TSTEPバルクデータエントリに設定されたユーザー定義のトレランスです）：

$\tilde{e}$ > TOL - 現在のステップを拒絶し、現在のステップをカットバックして再実行します。
> $\tilde{e}$ > 0.5 * TOL - 現在のステップを受け入れ、次のステップをカットバックします。
0.5 * TOL > $\tilde{e}$ > 1/16 * TOL - 変更はありません。
1/16 * TOL > $\tilde{e}$ - 次のタイムステップが２倍になります。

TSTEPエントリのMREF継続行を使用して、タイムステップ $h$ が現在のステップのLTEに従って調整されるように自動タイムステップを制御できます。前述のように、トレランス（TOL）と比較して誤差が“大きい”場合、 $h$ は半分に減らされ、現在のステップが再計算されます。各ステップ内のそのような演算の最大数は、TN1フィールドによって制御されます。一方で、 $h$ がトレランス（TOL）と比較して“小さい”場合、 $h$ を増やすよう要求されますが、 $h$ が実際に増やされるのは、そのような要求のあるTN2連続ステップの後のみです。

減衰

この非線形過渡応答解析タイプは、現在Rayleigh減衰に対してのみサポートを提供しています。減衰パラメータは、PARAM、ALPHA1およびPARAM,ALPHA2を使用して入力できます。サブケース依存パラメータは、TSTEPバルクデータエントリのAlphaおよびBetaフィールドを使用して入力できます。

ベースライン補正

ベースライン補正を適用することで、加速度の記録を補正して変位のずれを回避することができます。

SPCDを介して入力として加速度を付与した場合、シミュレーションの最後のポイントで変位結果の積分が発散することがあります。ベースライン補正を使用して、加速度入力を補正することができます。ベースライン補正を適用するには、BASELINサブケースエントリとBASELINバルクデータエントリのペアを使用できます。

ベースライン補正の適用には、2つの方法があります。いずれの場合も、加速度荷重を係数 $C_{0}$ 、 $C_{1}$ および $C_{2}$ 付き多項式に当てはめて補正します。

加速法（BASELINバルクデータ上でMETHOD=ACCE)

加速度荷重に対するベースライン補正は次のように計算されます： (25)

a_{b} (t) = C_{0} + C_{1} t + C_{2} t^{2}

修正加速度荷重は：(26)

a_{c} (t) = a (t) - a_{b} (t)

多項式の係数は、修正加速度荷重の2乗を最小にすることで評価されます。(27)

S (C_{1}, C_{2}, C_{3}) = \min [\sum_{i = 1}^{n} {(a_{c} (t_{i}))}^{2}]

ここで、

$C_{0}$ 、 $C_{1}$ 、および $C_{2}$: 上記の最小化関数から算出される未知数の多項式の係数。
$S$: 多項式係数の関数。
$a (t)$: 入力加速度荷重。
$a_{b} (t)$: 加速度のベースライン補正。
$a_{c} (t)$: ベースライン補正後の修正加速度。
$t$: 記録内の各加速度データポイントに関連付けられた時間。
$n$: レコード内の加速度データポイントの総数（TLOAD1エントリで参照されるTABLED#エントリ上のポイント）。

速度法（BASELINバルクデータ上でMETHOD=VELO)

加速度荷重に対するベースライン補正は次のように計算されます： (28)

a_{b} (t) = C_{0} + C_{1} (\frac{t - T_{1}}{T_{2} - T_{1}}) + C_{2} {(\frac{t - T_{1}}{T_{2} - T_{1}})}^{2}

修正加速度荷重は：(29)

a_{c} (t) = a (t) - a_{b} (t)

修正速度は：(30)

v_{c} (t) = v (T_{1}) + \int_{T_{1}}^{T_{2}} a_{c} (t) d t

多項式の係数は、修正速度荷重の2乗の積分を最小にすることで評価されます。 (31)

S (C_{1}, C_{2}, C_{3}) = \min [\int_{T_{1}}^{T_{2}} {(v_{c} (t))}^{2} d t]

ここで、

$C_{0}$ 、 $C_{1}$ 、および $C_{2}$: 上記の最小化関数から算出される未知数の多項式の係数。
$S$: 多項式係数の関数。
$a_{b} (t)$: 加速度のベースライン補正。
$a_{c} (t)$: ベースライン補正後の修正加速度。
$v (t)$: 速度荷重。
$v_{c} (t)$: ベースライン補正後の修正速度。
$t$: 記録内の各加速度データポイントに関連付けられた時間。
$T_{1}$ および $T_{2}$: 初期および最終総時間。; 継続サブケースまたは独立サブケースのいずれについても、サブケースごとにベースライン補正計算を行い、ベースライン補正のためにサブケースごとに個別の $C_{0}$ 、 $C_{1}$ および $C_{2}$ 係数を算出します。継続サブケースの場合、計算に使用した $T_{1}$ と $T_{2}$ の値は、やはり総時間となります。

問題の設定

入力

非線形過渡解析では、荷重条件と境界条件は入力デックのバルクデータセクションで定義します。静的荷重および境界条件は、入力ファイルのバルクデータエントリセクションで定義します。これらをサブケース情報エントリセクション内で参照する必要があり、これにはサブケース内でSPCおよびDLOADステートメントを使用します。大変位解析は、PARAM, LGDISP, 1またはNLPARM（LGDISP）サブケースエントリを介してアクティブにできます。

任意のサブケースで非線形過渡解が必要であることを示すには、NLPARMエントリとTSTEPエントリの組み合わせが存在する必要があります（代替定義としては単に、NLPARMとTSTEPの両方の代わりにTSTEPNLを使用します）。順番に、NLPARMエントリはNLPARMバルクデータエントリを、TSTEPエントリはTSTEPバルクデータを指します。TSTEPNLがサブケース内で使用される場合、それはTSTEPNLバルクデータを指します。

サブケース内でのTSTEPNLとNLPARMの両方の使用はサポートされていません（詳細については、TSTEPNLバルクデータエントリをご参照ください）。NLPARMが非線形過渡サブケースに存在する場合はTSTEPエントリが必須です。ただし、NLPARMのかわりにTSTEPNLエントリが存在する場合は、TSTEPエントリは必須ではありません。

NLOUTバルクデータエントリおよびNLOUTサブケース情報エントリを使用して、増分出力を制御できます。NLADAPTバルクおよびサブケース情報エントリを使用して、タイムステップおよび収束基準のパラメータを定義できます。

DLOADサブケースエントリは、対応するDLOADまたはTLOAD1/TLOAD2バルクデータエントリを参照することができます。TLOAD1/TLOAD2エントリは時間依存荷重を定義し、EXCITEIDフィールドは適用荷重（DAREA、FORCEx、PLOADxなど）、強制モーション（SPC/SPCD）または温度荷重（TEMP/TEMPDを指すことができます。

例

SUBCASE 10
   ANALYSIS = DTRAN
   SPC = 1
   DLOAD = 2
   NLPARM = 99
   TSTEP = 2
   NLOUT = 23
   IC = 12
.
.
BEGIN BULK
PARAM,LGDISP,1
NLPARM  99
TSTEP, 2
.

NLPARMデータは、非線形解析パラメータを提供します。 DLOADは時間依存の荷重を入力し、ICは初期条件を提供します（ない場合は、初期速度がゼロに設定されます）。NLOUTは、出力制御を発行します。TSTEPエントリには、非線形過渡法パラメータ、減衰、およびタイムステップパラメータが含まれています。

サブケースの継続

サブケースの継続は、同一モデル内の非線形過渡サブケース間でサポートされています。非線形過渡サブケースとNLSTATサブケースとの間でもサポートされています。つまり、サブケースの継続のため、NLSTATサブケースに続いて非線形過渡サブケースを追加できます。

サブケースの継続では、サブケース2はサブケース1に続きます。両方が非線形過渡タイプである場合、サブケース2における初期条件（存在する場合、ICエントリ）は無視されます。かわりに、サブケース2は、その初期条件をサブケース1の最後のタイムステップから取得します。

一方で、サブケース1がNLSTATタイプである場合、サブケース2に対してICエントリが許可されます。この状況では、サブケース1の荷重を定義する際に注意することも必要です。LOADがサブケース1の荷重の定義に使用される場合、その大きさは、サブケース2の初めに徐々にゼロまで減少します。DLOADがサブケース1で使用される場合、その荷重は、サブケース2まで継続しません。それはサブケース2に入るとすぐにゼロになります。つまり、NLSTAT(LOAD) + 非線形過渡応答の場合、２番目のサブケース内の荷重は、非線形過渡のDLOADと、NLSTATの（減少する）LOADとの組み合わせになります。それに対して、NLSTAT(DLOAD) + 非線形過渡応答の場合、２番目のサブケース内の荷重は、非線形過渡のDLOADからのみもたらされます。

サブケースの継続の一般的なユースケースの1つは、座屈後解析です。NLSTATサブケースを使用して構造に座屈に近い点まで負荷を与え、残りの座屈プロセスのために非線形過渡サブケース（後退オイラー法を使用して安定性を向上させる）がその後に続くようにできます。

小変位非線形過渡解析と大変位非線形過渡解析との間のサブケースの継続（またはその逆）は許されていません。

出力

一般的な出力エントリ（DISPLACEMENT、VELOCITYおよびACCELERATION）を使用して、非線形過渡応答解析の対応する出力を要求できます。NLOUTサブケースおよびバルクデータエントリを使用して、中間結果を要求できます。

エネルギー出力はデフォルトで利用でき、NLENRG バルク / サブケースペアによる追加制御が可能です。

自動タイムステップがアクティブでない場合は、NLSTATサブケースと同様にタイムステップごとに一般的な収束結果が出力されます。ただし、自動タイムステップがアクティブな場合は、収束結果に加えて、タイムステップごとにさらに行が追加されます。

フィールドには、現在のタイムステップ数（itstp）、現在時刻（time）、加速度誤差のノルム（norm(da)）、参照変位のノルム（u_ref）、加速度誤差（err_da）、および調整要求（adjustment）がそれぞれ示されます。

adjustment要求フィールドは以下のシンタックスを示します：

Adjustment Printing（.outファイル）: 情報
Reduce Next: 右記について、次の時間ステップの減少を示します： $h$
Enlarge Next: 右記について、次の時間ステップの増加を示します： $h$
No Change: 現在および後続のステップについて、 $h$ に変更がないことを示します。
Cutback: 現在のステップの減少を示します。そこで、現在のステップは再実行されます。

注:

非線形静解析に適用される同じ制限事項もまた、非線形過渡応答解析に適用されます。
非線形過渡応答解析での最大および最小タイムステップの制御には、NLADAPTエントリを使用することをお勧めします。
線形および大回転DMIG（グリッドポイントにおける直接マトリックス入力）は、非線形過渡応答解析でサポートされています。

解析時の収束のプロット

非線形静解析と非線形過渡解析の全サブケースにわたるすべての非線形反復計算について、Altair Compute Console（ACC）を使用して収束プロットを取得できます。

すべての最適化反復計算の進行状況をモニターすることもできます。

詳細については、実行時監視セクションの解析時の収束のプロットをご参照ください。