材料

OptiStructによって提供される材料のタイプは、等方性材料、直交異方性材料、異方性材料です。構造モデルで使用される各材料の特性を定義するには、材料特性定義カードを使用します。

MAT1バルクデータエントリは等方性弾性材料の特性定義に用います。このエントリは任意の構造要素から参照でき、また任意のプロパティカードからでも参照できます。

MAT2エントリは異方性材料の特性定義に用いられます。このエントリは三角形または四角形の膜要素および曲げ要素にのみ適用され、PSHELL、PCOMP、およびPCOMPGプロパティカードのみから参照できます。この材料タイプでは、平面内の応力とひずみの関係を指定します。材料の座標系と要素の座標系間の角度は結合カードで指定します。

MAT3エントリは軸対称および平面ひずみ要素の材料特性定義に用います。このエントリはCTRIAX6要素から参照でき、PAXIプロパティカードからも参照が可能で、CTAXIまたはCQAXI要素上で参照されます。同様に、CQPSTNおよびCTPSTN要素から参照されるPPLANEプロパティによって参照が可能です。

MAT4エントリは、等方性熱材料特性の定義に使用されます。このエントリは任意の構造要素から参照でき、また任意のプロパティカードからでも参照できます。

MAT5エントリは、異方性熱材料特性の定義に使用されます。このエントリは任意の構造要素から参照でき、また任意のプロパティカードからでも参照できます。

MAT8カードは２次元の直交異方性弾性材料の特性定義に用います。積層複合材レイアップの個々の層は、一般的にこのような直交異方性の特性を持ちます。積層複合材の層はシェル要素を使用してモデル化されるので、MAT8特性データを参照できるのは、PSHELL、PCOMP、およびPCOMPG特性カードのみです。

MAT9バルクデータエントリは3次元ソリッドの異方性弾性材料の特性定義に用います。ある点における応力テンソルの6つの独立した応力成分と、その点におけるテンソルの6つの独立したひずみ成分とをリンクしている一般的な異方性の応力とひずみの関係では、弾性マトリックスに21の独立した定数が含まれます。これらの値はMAT9バルクデータカードを使って与えられます。MAT9バルクデータカードは、CHEXA、CPENTA、CPYRA、およびCTETRAソリッド要素と共に使用され、PSOLID特性カード上でのみ参照することができます。MAT9データが指定されるオプションの座標系は、PSOLIDバルクデータエントリを介して与えられます。

MAT10バルクデータエントリは流体-構造連成（音場）解析の流体要素の材料特性定義に用います。このエントリは、FCTN=PFLUIDを持つPSOLIDエントリからのみ参照されます。

ビオット（多孔質弾性体）材料は、MATPE1エントリを使用して定義されています。

温度依存の材料特性は、MATT1、MATT2、MATT8、およびMATT9を使って定義されます。これら4つはすべて、上記と同じ特徴を有します。各特性の温度依存性は、TABLEM1、TABLEM2、TABLEM3、またはTABLEM4テーブルエントリを使って定義されます。

複合積層材は、PCOMP、PCOMPPおよびPCOMPG特性を使って定義されます。これらは材料タイプではなく、積層レイアップの各プライは、異なる材料を参照することが可能です。

弾塑性材料特性はMATS1を用いて定義されます。その非線形材料特性は表形式入力TABLES1が必要です。MATS1はMAT1の拡張として同じMIDで定義されます。MATS1は全ての非線形ソリューションに適用可能です。

超弾性材料特性はMATHEを用いて定義されます。Ogden、Arruda-Boyceなど、様々な超弾性材料モデルが用意されています。

粘弾性材料の特性は、周波数依存性が必要な場合は、 MATVEまたはMATFVEを使用して定義します。

クリープ材料特性はMATVPを用いて定義されます。

粘着域モデリングは、MCOHEまたはMCOHEDエントリを用いて定義できます。

鋳鉄塑性材料は、MCIRONバルクデータエントリを用いて定義できます。

ユーザー定義の構造材料プロパティは、MATUSRを用いて利用が可能です。LOADLIBエントリを介して、.dllまたは.soライブラリを参照することができます。詳細については、ユーザーズガイドのユーザー定義の構造材料をご参照ください。

ユーザー定義の熱材料プロパティは、MATUSHTを用いて利用が可能です。LOADLIBエントリを介して、.dllまたは.soライブラリを参照することができます。

材料モデルは、Multiscale Designerを用いて定義し、MATMDSエントリを介して使用することが可能です。

陽解法動的サブケース（Radiossインテグレーションによる）では、より多くの非線形材料則が利用可能です。一般的な規則として、陽解法動的解析にのみ適用可能な材料定義は、基礎の弾性材料特性を定義するMAT1材料の拡張として定義されます。この拡張はベース入力と同じMIDを共有するものとしてグループ化されます。可能なMATXyx拡張のリストを以下に示します。材料則が材料の曲線を必要とする場合、TABLES1エントリが用いられます。

表 1. 陰解法解析
材料特性	非線形性	時間依存性	温度依存性	周波数依存性	材料カード
等方性	-	-	-	-	MAT1
	-	-	-	○	MAT1 + MATF1
	-	-	○	-	MAT1 + MATT1
	弾塑性	-	-	-	MAT1 + MATS1
	弾塑性	-	○	-	MAT1 + MATS1 （TABLESTを参照）
	超弾性	-	-	-	MATHE
	超弾性	-	○	-	MATTHE
	粘弾性	-	-	-	MAT1 + MATVE
	粘弾性	-	-	○	MAT1 + MATFVE
	粘弾性、超弾性	-	-	-	MATHE + MATVE
	クリープ	-	-	-	MAT1 + MATVP
	クリープ、弾塑性	-	-	-	MAT1 + MATVP + MATS1
	クリープ	-	○	-	MAT1 + MATVP + MATTVP
異方性	-	-	-	-	MAT9（ソリッド要素） MAT2（シェル要素）
	-	-	-	○	MAT9 + MATF9（ソリッド要素） MAT2 + MATF2（シェル要素）
	-	-	○	-	MAT9 + MATT9（ソリッド要素） MAT2 + MATT2（シェル要素）
	粘弾性	-	-	-	MAT9 + MATVE
	粘弾性	-	-	○	MAT9 + MATFVE
直交異方性	-	-	-	-	MAT9OR（ソリッド要素） MAT8（シェル要素） MAT3（軸対称および平面ひずみ要素）
	-	-	-	○	MAT8 + MATF8（シェル要素） MAT3 + MATF3（軸対称および平面ひずみ要素）
	-	-	○	-	MAT9OR + MATT9OR（ソリッド要素） MAT8 + MATT8（シェル要素） MAT3 + MATT3（軸対称および平面ひずみ要素）
流体	-	-	-	-	MAT10
流体	-	-	-	○	MAT10 + MATF10
熱	-	-	-	-	MAT4（等方性） MAT5（異方性）
熱	○（温度）	-	○	-	MAT4 + MATT4（等方性）
ガスケット	-	-	○	-	MGASK
疲労解析	-	-	-	-	MATFAT
ビオット（多孔質弾性体）	-	-	-	-	MATPE1
ユーザー定義の構造材料サブルーチン	○	○	○	-	MATUSR（サブルーチンはFortranおよびC）
ユーザー定義の熱材料サブルーチン	○（温度）	○	○	-	MATUSHT（サブルーチンはFortranおよびC）
Multiscale Designerベースの材料	○	-	-	-	MATMDS（Altair Multiscale Designerを使用）
破壊基準	-	-	-	-	MATFの基準と許容値基準 / 許容値はMAT1、MAT2、MAT8、PCOMP、PCOMPP、PCOMPGで定義することも可能

表 2. 陽解法動解析
材料特性	非線形性	時間依存性	温度依存性	周波数依存性	材料カード
等方性	-	-	-	-	MAT1
	弾塑性	-	-	-	MAT1 + MATS1
	超弾性	-	-	-	MATHE
	粘弾性	-	-	-	MAT1 + MATVE
	粘弾性、超弾性	-	-	-	MATHE + MATVE
異方性	-	-	-	-	MAT2（シェル要素）
異方性	粘弾性	-	-	-	MAT9 + MATVE
直交異方性	-	-	-	-	MAT8（シェル要素）

陽解法動的サブケース（Radiossインテグレーションによる）では、より多くの非線形材料則が利用可能です。一般的な規則として、陽解法動的解析にのみ適用可能な材料定義は、基礎の弾性材料特性を定義するMAT1材料の拡張として定義されます。この拡張はベース入力と同じMIDを共有するものとしてグループ化されます。可能なMATXyz拡張のリストを以下に示します。材料則が材料の曲線を必要とする場合、TABLES1エントリが用いられます。

陽解法動解析（ANALYSIS=EXPDYNを介したRadioss連携）

材料カード: 詳細
MATX0: ボイド材料
MATX02: Johnson-Cook弾塑性材料
MATX13: 剛体材料
MATX21: 岩石-コンクリート材料
MATX25: 複合材シェル材料、TSAI-WU と CRASURV 定式化
MATX27: 脆性弾塑性材料
MATX28: ハニカム材料
MATX33: 粘弾性フォーム材料
MATX36: 区分線形弾塑性材料
MATX42: Ogden-Mooney Rivlin材料
MATX43: Hill直交異方性材料
MATX44: Cowper-Symonds弾塑性材料
MATX60: 区分非線形弾塑性材料
MATX62: 超粘弾性材料
MATX65: 表形式ひずみ速度依存弾塑性材料
MATX68: ハニカム材料
MATX70: 表形式粘弾性フォーム材料
MATX82: Ogden材料

ユーザー定義の構造材料

MATUSRバルクデータエントリとLOADLIB入出力オプションエントリを組み合わせると、ユーザー定義の外部関数を介して構造材料を定義することが可能です。

外部関数は、Fortran、C、またはC++で記述できます。一貫した関数のプロトタイピングが遵守され、適切なコンパイルオプションとリンクオプションが使用されていれば、コーディング言語に関係なく、結果のライブラリとファイルにOptiStructからアクセスできるはずです。

外部関数の書き出し

OptiStructでユーザー材料を定義するには、2つのFortranサブルーチンが必要です。1つは非線形大変位解析の非線形サブルーチンで、もう1つは線形と非線形の微小変位解析のサブルーチンです。両方のサブルーチンは必須であり、次のように、同じ引数の順序に従っていなければなりません：

非線形サブルーチン（LGDISP）：

subroutine usermaterial(idu, stress, strain, dstrain, stater,
state, nstate, drot, props, nprops, ndi, nshear, ntens 
	temp, dtemp, ieuid, kinc, dt, t_step,
	t_total, cdev, cbulk, userdata, ierr)

integer idu, nstate, nprops, kinc, ieuid, ndi, nshear, ntens, ierr
double precision stress(6),stater(*),state(*),
     $     cdev(6,6),cbulk, drot(3,3), temp, dtemp, dt, 
     $     t_step, t_total,
     $     strain(6), dstrain(6), props(nprops)
character*32000 userdata

線形サブルーチン（線形およびSMDISP）：

subroutine smatusr(idu, nprop, prop, ndi, nshear, ntens, smat, userdata,  ierr)
integer idu, nprop, ndi, nshear, ntens, ierr
double precision prop(nprop), smat(*)
character*32000 userdata

注: 両方のサブルーチン共、それぞれ “usermaterial”および“smatusr”と命名されていることが重要です。

サブルーチンの引数

以下の一覧は、OptiStructで外部サブルーチンに渡される引数を簡単に説明したものです。OptiStructは、モデル内の各要素の積分点毎に、これら２つのサブルーチンをコールします。したがって、以下にリストした値は各積分点において計算されます。

引数	タイプ	入力 / 出力	詳細
`idu`	整数	入力	MATUSRバルクデータエントリの`USUBID`パラメータを介して定義されます。この引数は、同じユーザーサブルーチン内の異なるタイプの材料間で選択、定義するために使用されます。オプションでの使用
`stress`	ダブル（テーブル）	入力 / 出力	応力テンソル。初期応力は入力と見なされ、非線形ソリューション中に計算された応力、テンソルは、ユーザーサブルーチンからOptiStructに出力されます。
`strain`	ダブル（テーブル）	入力	ひずみテンソル。初期ひずみは入力と見なされます。
`dstrain`	ダブル（テーブル）	入力	インクリメントひずみテーブルインクリメントひずみは、OptiStructからユーザーサブルーチンに入力されます。
`stater`	ダブル（テーブル）	入力 / 出力	以前のインクリメントにおける状態変数のテーブル。
`state`	ダブル（テーブル）	入力 / 出力	現在のインクリメントにおける状態変数のテーブル。詳細については、`stater`をご参照ください。状態変数は、H3Dファイルでの出力として要求可能な変数です。サブルーチンでのソリューションプロセス内で計算される変数（たとえば、塑性ひずみ、等価塑性ひずみなど）はいずれも、状態変数として定義することによって出力が可能です。状態変数の数は、`nstate`を介して指定できます。
`nstate`	整数	入力 / 出力	サブルーチン内にユーザーが必要とする状態変数の数。これらの状態変数は、H3Dファイルに出力されます。詳細については、`stater`をご参照ください。これは、MATUSRバルクデータエントリの`NDEPVAR`フィールドを介して指定されます。
`props`	ダブル（テーブル）	入力	このテーブルには、MATUSRエントリの`PROPERTY`継続行からのユーザー定義材料プロパティ情報がすべて含まれます。
`nprops`	整数	入力	MATUSRエントリの`PROPERTY`継続行で定義された材料プロパティの総数。
`ndi`	整数	入力	法線応力成分の数（ソリッド要素の場合は3、シェル要素の場合は2）。
`nshear`	整数	入力	せん断応力成分の数（ソリッド要素の場合は3、シェル要素の場合は1）。
`ntens`	整数	入力	テンソル成分の数（`ntens` = `ndi` + `nshear`）。
`temp`	ダブル	入力	1つ前の収束したインクリメントにおける温度。
`dtemp`	ダブル	入力	温度のインクリメント。
`ieuid`	整数	入力	要素ID。このサブルーチンは、各要素の積分点毎にコールされます。
`kinc`	整数	入力	現在のインクリメント。
`dt`	ダブル	入力	現在の時間インクリメント。
`t_step`	ダブル	入力	サブケース時間。
`t_total`	ダブル	入力	総時間（CNTNLSUBが使用されている場合）。
`cdev`	ダブル（テーブル）	出力	サイズ（6x6）の完全材料モジュールマトリックス。これらはソリューション中に計算され、OptiStructに出力されて剛性マトリックスを形成します。
`cbulk`	ダブル（テーブル）	出力	（オプション）バルク材料モジュールマトリックス。これは、現時点で、解析で使用されていません。
`smat`	ダブル（テーブル）	出力	1D配列（21項）。これは、`cdev`の対称部分です。これらはソリューション中に計算され、OptiStructに出力されて剛性マトリックスを形成します。
`userdata`	文字	出力	`ierr`引数の値に基づいて出力されるユーザー定義のメッセージ。
`ierr`	整数	入力 / 出力	ユーザーサブルーチンからのOptiStruct実行に関する出力メッセージをアクティブ / 非アクティブにするフラグ。 0（デフォルト）処理を実行しません。 1 OptiStruct実行エラー出力とERRORメッセージが`userdata`引数で定義されたメッセージに基づいて出力されます。 -1 `userdata`引数で定義された情報メッセージが出力され、OptiStruct実行は継続されます。

ユーザー定義材料の外部ライブラリの構築

WindowsまたはLinux上での共有ライブラリの構築を可能にします。

詳細については、外部ライブラリの構築をご参照ください。

ユーザー定義の熱材料

MATUSHTバルクデータエントリとLOADLIB入出力オプションエントリを組み合わせると、ユーザー定義の外部関数を介して熱材料を定義することが可能です。

注: ユーザー定義の熱材料熱伝導は、現時点で、非線形過渡熱伝導解析でのみサポートされています。

外部関数の書き出し

サブルーチン：

subroutine usrmatht(idu, matID, ieuid, Stater, State,
 nState, drot, props, nprops, temp, 
 dtemp, kinc, dt, t_step, t_total, hgen, smat
 userdata, ierr)

      character*32000 userdata

integer*8 i, idu, matID, ieuid, nState, nprops, kinc, ierr
      double precision Stater(nState), State(nState)
      double precision drot(3,3), rmat(nprops)
      double precision etempmat, dtemp, dt, t_step, t_total
      double precision hgen, smat(9)

サブルーチンの引数

以下の一覧は、OptiStructで外部サブルーチンに渡される引数を簡単に説明したものです。

引数	タイプ	入力 / 出力	詳細
`idu`	整数	入力	MATUSHTバルクデータエントリの`USUBID`パラメータを介して定義されます。この引数は、同じユーザーサブルーチン内の異なるタイプの材料間で選択、定義するために使用されます。オプションでの使用
`matID`	整数	入力	材料ID
`ieuid`	整数	入力	要素ID。
`drot(3,3)`	ダブル（テーブル）	入力	変換マトリックス
`props`	ダブル（テーブル）	入力	このテーブルには、MATUSHTエントリの`PROPERTY`継続行からのユーザー定義熱材料プロパティ情報がすべて含まれます。
`nprops`	整数	入力	MATUSHTエントリの`PROPERTY`継続行で定義された熱材料プロパティの総数。
`temp`	ダブル	入力	現在の増分終了時の温度。
`dtemp`	ダブル	入力	現在の増分の温度。
`kinc`	整数	入力	現在の非線形増分。
`dt`	ダブル	入力	現在の時間ステップ増分。
`t_step`	ダブル	入力	現在の時間ステップの現在のサブケース時間。
`t_total`	ダブル	入力	総時間（ICが使用されている場合）。これは、非線形過渡熱サブケースのICケースコントロールエントリが過去の非線形過渡熱サブケースを指している場合に有効です。
`Stater`	ダブル（テーブル）	入力	最後に収束した時間ステップでの状態変数の表。これらは、同じ時間ステップの繰り返しの間で一定です。
`State`	ダブル（テーブル）	入力 / 出力	現在の時間ステップでの状態変数の表。これらは更新され、同じ時間ステップの反復の間に渡されます。状態変数は、H3Dファイルでの出力として要求可能な変数です。サブルーチンでのソリューションプロセス内で計算される変数はいずれも、状態変数として定義することによって出力が可能です。
`nState`	整数	入力	サブルーチン内にユーザーが必要とする状態変数の数。詳細については、`Stater`をご参照ください。
`hgen`	ダブル（テーブル）	出力	生成された熱。
`smat`	ダブル（テーブル）	出力	材料マトリックス。これらはソリューション中に計算され、OptiStructに出力されます。smatマトリックスのフォーマットは以下の通りです。 `smat(1): KXX Thermal Conductivity smat(2): KXY Thermal Conductivity smat(3): KXZ Thermal Conductivity smat(4): KYY Thermal Conductivity smat(5): KYZ Thermal Conductivity smat(6): KZZ Thermal Conductivity smat(7): CP Heat Capacity per unit mass smat(8): RHO Density smat(9): Free Convection Heat Transfer Coefficient (Unused).`
`userdata`	文字	出力	`ierr`引数の値に基づいて出力されるユーザー定義のメッセージ。
`ierr`	整数	入力 / 出力	ユーザーサブルーチンからのOptiStruct実行に関する出力メッセージをアクティブ / 非アクティブにするフラグ。 0（デフォルト）処理を実行しません。 1 OptiStruct実行エラー出力とERRORメッセージが`userdata`引数で定義されたメッセージに基づいて出力されます。 -1 `userdata`引数で定義された情報メッセージが出力され、OptiStruct実行は継続されます。

出力

節点温度や要素流束などの標準の組み込みOptiStruct出力は、任意の熱材料ユーザーサブルーチンベースのモデルに対して要求できます。加えて、ユーザー定義の出力を、ユーザーサブルーチンのState(*)変数を介して要求することもできます。このようなState(*)変数の数は、NDEPVARフィールドで特定する必要があります。

この状態変数は、サブルーチンから出力する必要のある任意の出力変数に割り当てることができ、その後で、H3Dファイルの読み込み後にHyperViewで可視化することができます。

ユーザー定義材料の外部ライブラリの構築

WindowsまたはLinuxで共有ライブラリを構築できます。

詳細については、外部ライブラリの構築をご参照ください。

von Mises塑性の複合硬化

シェイクダウンやラチェット効果などを捕捉するために、繰り返し荷重を使用した解析で複合硬化を使用できます。

この手法は、非線形移動（NLKIN）硬化法と非線形等方（NLISO）硬化法の2つの硬化法で構成されています。

一般に、等方部分はvon Mises基準と密接な関係があり、移動部分は背応力の進展則によって表現されます。

複合硬化をアクティブにするには、MATS1バルクデータでHR=6と設定します。

等方硬化（NLISO）：非線形降伏関数

von Mises塑性の降伏関数は、次のような一般形式で表現できます：(1)

f (S, α, {\bar{ε}}_{p}) = \sqrt{\frac{3}{2} (S - α) : (S - α)} - σ_{y} ({\bar{ε}}_{p})

ここで、

$S$: 偏差応力テンソル。
$α$: 背応力テンソル。
$σ_{y}$: 等価塑性ひずみ ${\bar{ε}}_{p}$ の関数とした降伏応力。

流動則は、塑性ひずみの変化として定義され、次のような速度形式で表現できます：(2)

{\dot{ε}}_{p} = \dot{λ} \frac{\partial f}{\partial σ}

ここで、 $λ$ は塑性乗数の速度であり、これは等価塑性ひずみの速度でもあります。

流動方向

N

を導くことができ、これは、応力テンソルを基準にした降伏関数の導関数です。(3)

N = \frac{\partial f}{\partial σ} = \sqrt{\frac{3}{2}} \frac{(S - α)}{| | S - α | |} = \sqrt{\frac{3}{2}} \frac{η}{| | η | |}

ここで、 $η$ は相対応力テンソルであり、これは偏差応力と背応力の差分です。

非線形等方硬化では、降伏応力が等価塑性ひずみのべき乗則関数であると想定します：(4)

σ_{y} ({\bar{ε}}_{p}) = σ_{y 0} + Q (1 - e^{- b {\bar{ε}}_{p}})

ここで、 $Q$ と $b$ は、MATS1データ（HR=6、TYPISO=PARAM）のQフィールドとBフィールドに直接入力できる2つのパラメータです。また、実験から得られた応力-ひずみ曲線に基づき、これらのパラメータをパラメータフィッティングアルゴリズムで計算することもできます。等価塑性応力と降伏応力の等方部分は、MATS1データ（HR=6、TYPISO=TABLE）のSIGフィールドとEPSフィールドから得られます。

非線形等方硬化はvon Mises塑性基準に基づいているので、流動則と関連しています。

移動硬化（NLKIN）：背応力の進展則

従来の線形硬化（HR=1または2）または混合硬化（HR=3）と比較して、HR=6としたNLKINの主な違いは、背応力の進展則の拡張であることです。この進展則は、背応力成分ごとに記述した進展方程式の一群で構成されています：(5)

\dot{α} = \sum_{k = 1}^{m} {\dot{α}}_{k}

および(6)

{\dot{α}}_{k} = \frac{2}{3} C_{k} {\dot{ε}}_{p} - γ_{k} α_{k} {\dot{\bar{ε}}}_{p}

ここで、

$k$: 背応力の成分数を示します。
$m$: 背応力成分の合計数。
$C_{k}$ および $γ_{k}$: 成分 $k$ の対応するパラメータペア。; これら2つのパラメータは、MATS1データ（HR=6、TYPKIN=PARAM）のCiフィールドとGiフィールドに直接入力できます。また、実験から得られた応力-ひずみ曲線に基づき、これらのパラメータをパラメータフィッティングアルゴリズムで計算することもできます。これらのアルゴリズムは、MATS1データ（HR=6、TYPKIN=HALFCYCL）のSIGフィールドとEPSフィールドで定義します。

背応力 ${\dot{α}}_{k}$ の進展は、 ${\dot{ε}}_{p}$ に平行である流動方向と背応力成分 $α_{k}$ 自体の両方に依存しているため、背応力の進展則との関連はありません。この結果として、一貫性のある非対称な弾塑性の接線係数が得られます。複合硬化がアクティブな場合は、非対称ソルバーは必ずオンになっています。

時間積分スキーム

通常、塑性問題はリターンマッピング法を使用して解析します。すなわち、塑性問題を最初は弾性の試行段階と想定したうえで、塑性流動が発生した場合は、降伏曲面上に応力を戻します。リターンマッピングプロセスでは後退オイラーアルゴリズムを使用します。

パラメータフィッティング

応力-ひずみ曲線が得られている場合は（TYPKIN=HALFCYCLまたはTYPISO=TABLE）、得られたデータポイントを使用して複合硬化に最適なパラメータを計算します。パラメータフィッティングの場合は、Newton法の拡張であるLevenberg-Marquardt法を使用します。フィッティングしたパラメータは.outファイルに出力されます。

TYPISO=TABLEと設定したNLISOの場合、継続行で指定したデータは、降伏応力と等価塑性ひずみとの関係を示します。この曲線は通常、ひずみを一定として繰り返した実験に基づいて生成します。同じ曲線を等方硬化（HR=1）にも使用します。例えば、TABLES1/TABLEGまたはTABLESTを入力とした場合です。

TYPKIN=HALFCYCLとしたNLKINの場合、得られたデータは降伏応力と等価塑性ひずみの関係を示します。この降伏応力は、実験で直接測定した全降伏応力なので、等価塑性ひずみは弾性ひずみの減算によって修正されます。CiパラメータとGiパラメータを計算するには、まず等方部分を曲線から減算すると、その結果は移動硬化に起因する硬化部分となります。減算したデータはパラメータフィッティングに使用します。したがって、TYPKIN=HALFCYCLとしたNLKINで得られる降伏応力値は、TYPISO=TABLEとしたNLISOで得られる降伏応力値より必ず大きくなります。

温度依存の複合硬化

温度依存の複合硬化がアクティブな場合は、次のようなすべてのパラメータが温度依存となります。

$\begin{array}{l} C_{k} (T) \\ γ_{k} (T) \\ σ_{y 0} (T) \\ Q (T) \\ b (T) \end{array}$

実験では、限られた温度でのテストのみが可能です。テストに使用した温度と温度の間の温度における塑性を解析するには補間を使用します。

等方硬化NLISOを例として使用して、2つの温度

T_{1}

と

T_{2}

でパラメータが得られていれば、補間では次の2つの降伏応力関数を使用できます：(7)

σ_{y} ({\bar{ε}}_{p}, T_{1}) = σ_{y 0} + Q (T_{1}) \cdot (1 - e^{- b (T_{1}) \cdot {\bar{ε}}_{p}})

(8)

σ_{y} ({\bar{ε}}_{p}, T_{2}) = σ_{y 0} + Q (T_{2}) \cdot (1 - e^{- b (T_{2}) \cdot {\bar{ε}}_{p}})

[

T_{1}

T_{2}

]の範囲にある現在の温度

T_{c u r r}

で補間した降伏応力は次のようになります：(9)

σ_{y} ({\bar{ε}}_{p}, T_{c u r r}) = f_{1} \cdot σ_{y} ({\bar{ε}}_{p}, T_{1}) + f_{2} \cdot σ_{y} ({\bar{ε}}_{p}, T_{2})

ここでは、異なる温度に対する2つの係数 $f_{1} = \frac{T_{2} - T_{c u r r}}{T_{2} - T_{1}}$ 、 $f_{2} = \frac{T_{c u r r} - T_{1}}{T_{2} - T_{1}}$ を使用しています。

図 2を例として、補間の原理を示します。

パラメータ（QとB）が直接補間されていないことに留意してください。代わりに、2つの温度における降伏関数を補間しています。これは、2つの温度における進展則を補間するNLKINと類似しています。

目的の温度 $T$ が有効な温度範囲[ $T_{1}$ , $T_{2}$ ]にない場合は、最も近い温度が選択されます。つまり、温度は外挿されません。さらに、NLKINとNLISOの材料パラメータには、同じ温度での値を指定することをお勧めします。

鋳鉄の塑性特性

鋳鉄材料モデルは、引張と圧縮の挙動が異なるねずみ鋳鉄の降伏挙動を表すために使用されます。

この材料モデルでは、ひずみの進展に速度形式を用い、ひずみ速度を弾性部と塑性部の2つの部分に分解して加算します。(10)

\dot{ε} = {\dot{ε}}^{e} + {\dot{ε}}^{p}

降伏関数

降伏基準の定義は次のとおりです：(11)

f \leq 0

ここで、

$f = {\begin{matrix} \frac{2}{3} q \cos θ + p - σ_{t} p > - \frac{σ_{c}}{3} \\ q - σ_{c} p \leq - \frac{σ_{c}}{3} \end{matrix}$

1つ目の基準は引張降伏用のランキンの基準（最大主応力基準）で、2つ目の基準は圧縮降伏用のフォンミーゼスの基準です。これらはまとめて複合降伏曲面を形成します。

ここで、

$σ_{t}$: 単軸引張における降伏応力。
$σ_{c}$: 単軸圧縮における降伏応力。

材料は等方性と見なされるため、降伏曲面は、応力テンソルの3つの不変量 $p$ 、 $q$ 、および $r$ の関数で表すことができます。

ここで、

q

は、特定の応力状態のフォンミーゼス応力です。(12)

q = \sqrt{3 J_{2}} = \sqrt{\frac{3}{2} S : S}

ここで、

p

は、次の式で与えられる平均応力です：(13)

p = \frac{σ_{x x} + σ_{y y} + σ_{z z}}{3}

不変量

r

は、次のように表すことができます：(14)

r = {(\frac{9}{2} S \cdot S : S)}^{\frac{1}{3}}

ここで、

S

は、偏差応力のテンソルフォームです。(15)

S = [\begin{matrix} S_{x x} & S_{x y} & S_{x z} \\ S_{y x} & S_{y y} & S_{y z} \\ S_{z x} & S_{z y} & S_{z z} \end{matrix}]

数量

θ

は、特定の応力状態の子午面を特定する、以下のような

q

と

r

によって定義されるロード角です。(16)

\cos (3 θ) = {(\frac{r}{q})}^{3}

主応力空間では、降伏関数はランキンの平面とフォンミーゼスの円柱の交差です（図 3）。降伏曲面は、図 4と図 5の $π$ 平面、および図 6の子午面で説明されます。

(17)

r = (\frac{9}{2} S \cdot S : S)

ここで、 $S$ は、偏差応力のテンソルフォームです。

鋳鉄の塑性の降伏曲面。

流動則

流動則は次のように表されます：(18)

{\begin{matrix} \frac{{(p - g)}^{2}}{a^{2}} + q^{2} = 9 g^{2} p > - \frac{σ_{c}}{3} \\ q = 3 g p \leq - \frac{σ_{c}}{3} \end{matrix}

硬化則

この材料モデルでは、等方硬化のみが考慮されます。等価塑性ひずみが大きくなるにつれて、降伏強度が大きくなります。引張と圧縮では流動則が異なるため、等価塑性ひずみは引張と圧縮で異なることに注意が必要です。したがって、引張降伏強度と圧縮降伏強度は、引張の表と圧縮の表から別々に調べます。

圧縮等価塑性ひずみは、次のように表されます：(19)

e_{n}^{p l c} = e_{n - 1}^{p l c} + {\dot{e}}^{p l c}

(20)

{\dot{e}}^{p l c} = \sqrt{\frac{2}{3} S ({\dot{ε}}^{p}) : S ({\dot{ε}}^{p})}

ここで、 $S ({\dot{ε}}^{p})$ は塑性ひずみ速度の偏差部分のテンソルです。

引張等価塑性ひずみは：(21)

e_{n}^{p l t} = e_{n - 1}^{p l t} + {\dot{e}}^{p l t}

(22)

{\dot{e}}^{p l c} = \frac{1}{σ_{t n}} (p {\dot{ε}}_{v o l}^{p} + q {\dot{e}}^{p l c})

ここで、 ${\dot{ε}}_{v o l}^{p} = {\dot{ε}}_{x x}^{p} + {\dot{ε}}_{y y}^{p} + {\dot{ε}}_{z z}^{p}$ です。

上の式で、下付き指数 $n$ は物理量が時刻 $t = n$ にあることを意味し、 $n - 1$ は、物理量が最後に収束した時間 $t = n - 1$ を意味します。

入力

鋳鉄塑性材料データは、既存のMAT1バルクデータエントリと同じ識別番号を有するMCIRONバルクデータエントリを使用して指定することができます。引張および圧縮応力-ひずみ曲線は、MCIRONエントリのTABLE_TおよびTABLE_Cフィールドを使用して定義することができます。

MCIRONを介した鋳鉄材は、微小変位および大変位非線形静解析と非線形過渡解析に対応しています。CHEXA、CTETRA、CPENTA、CPYRA要素（1次と2次の両方）についてサポートされています。

通常の結果出力に加えて、STRAIN(PLASTIC) I/Oオプションが指定されている場合は、この材料モデルの追加結果が出力されます。これらの結果には、6つの塑性ひずみ成分、等価圧縮塑性ひずみ、等価引張塑性ひずみ、節点結果、積分結果などがあります。

マルチスケールモデリング

OptiStruct（OS）およびMultiscale Designer（MDS）を組み合わせて、線形および非線形の両方の材料を使用して構造コンポーネントに対するマルチスケール解析を実行できます。

複合材、土、ソリッドフォーム、多結晶体などの不均質材料は、さまざまな機械的特性を持つ1つ以上の区別可能な成分で構成されます。¹² たとえば、繊維強化複合材には、補強材と呼ばれるより剛性が高く強固な相と、母材と呼ばれる剛性が低く弱い相があることが知られています。支配方程式は、ミクロスケールまたはマクロスケールのいずれかのスケールで適切に解明されています。一般的な構成方程式はマクロスケールで変形を受けるソリッドに対して適用可能である一方、連続体モデルはミクロスケールである必要があります。この2つのスケールのギャップを埋めるためには、同時に異なるスケールでモデルを考える必要があります。これは、マルチスケール技術により達成されます。

従来の積層材理論は不均質積層材の全体の特性を予測でき、均質化理論は個々の相の特性および相の形状についての情報を提供します。個々の相についての知識は、材料の損傷や破壊を特性化するのに重要です。したがって、マルチスケール技術は異なるレベルの物理法則での材料の挙動に焦点を当ててモデル化するという他に例のない機会をもたらします。

この2つのソフトウェアの統合のための全体的なフローチャートを図 7に示します。Multiscale Designerには、材料サブルーチンの作成に使用される4つのプリプロセッシング手順があります。これらのサブルーチンでは、線形および非線形の領域でのミクロスケールの材料挙動を特性化します。これらは後で、構造解析用に、MATUSR材料カードを使用してOptiStructと統合されます。

Multiscale Designerにおける4つのプリプロセッシング手順は次のとおりです：

単位セル形状とメッシュ定義
線形材料特性
次数低減均質化
非線形材料特性

注: 4つのプリプロセッシング手順の詳細は、Multiscale Designer User Manualをご参照ください。¹⁰ ユーザーは、Multiscale Designer内の材料定式化を理解していることが前提となっています。

単一スケールモデル

単一スケール材料モデルを構築するために必要な基本手順。

鋳鉄の塑性特性は、引張および圧縮荷重を受けたときの降伏挙動および硬化挙動が異なるため、興味深い研究対象です。最初の2つのセクションでは、Multiscale Designer（MDS）から要求される入力データについて説明します。次の2つのセクションでは、材料をOptiStruct（OS）に統合し、構造解析を実行する手順について説明します。

線形材料の特性計算

材料モデルタイプが単一スケール材料特性として選択されます。Multiscale Designerでは、以下の材料特性が許容されます。

等方性
トランス等方性
直交異方性
異方性材料

ここでは、線形領域の特性に鋳鉄の特性を持つ均一な材料が使用されます。材料の入力弾性特性 / パラメータと値は次のとおりです：

鋳鉄の線形弾性パラメータの特性と値 ¹¹

引張ヤング率（GPa）、 $E_{t}$: 95.5
圧縮ヤング率（GPa）、 $E_{c}$: 95.5
ポアソン比、 $ν$: 0.26

非線形材料の特性計算

Multiscale Designerでは、速度に依存しない塑性、粘弾性、損傷則など、さまざまな構成則を使用できます。ここでは、等方性損傷 - 3区分線形展開を使用して、材料の非線形挙動をシミュレートします。Multiscale Designer内の損傷モデル定式化は、連続体損傷力学フレームワークに従います。弾性剛性マトリクス、主ひずみの関数である損傷状態変数を使用することにより縮退されます。圧縮荷重の場合のみ、主ひずみに圧縮係数がかけられ、圧縮での損傷が緩和されます。圧縮係数は、材料の入力特性に基づいて、内部的に計算されます。

鋳鉄の破壊入力パラメータの特性と値 ¹¹

損傷開始時の応力 – 引張（MPa）、 $σ^{0}$: 126.0
最大応力 – 引張（MPa）、 $σ^{1}$: 210.3
最大応力時のひずみ – 引張、 $ε^{1}$: 0.008
破壊ひずみ – 引張、 $ε^{2}$: 0.008
損傷開始時の応力 – 圧縮（MPa）、 $σ_{c}^{0}$: 303.0
最大応力 – 圧縮（MPa）、 $σ_{c}^{1}$: 443.3
最大応力時のひずみ – 圧縮、 $ε_{c}^{1}$: 0.010
破壊ひずみ – 圧縮、 $ε_{c}^{2}$: 0.010

非線形材料の定式化は、ノッチなし引張 / 圧縮組み込みマクロシミュレーションモデルにより行われます。ASTM D3039、D3518、およびD6641に準拠する2つのシミュレーションが定義されます。1つは引張挙動のシミュレート用、もう1つは圧縮挙動用です。プロセスで、単位メッシュ（ソリッドキューブ）は一端で固定され、もう一端のx方向変位を受けます。応力は、反力を単位面積で割ることで計算されます。

ノッチなし引張 / 圧縮シミュレーションのパラメータと入力値

荷重速度 – 引張（/ 秒）: 0.008
最大ひずみ – 引張: 0.008
荷重速度 – 圧縮（/ 秒）: -0.01
最大ひずみ – 圧縮: -0.01

荷重速度は試験のひずみ速度です。すべての速度に依存しない材料則（これには等方性損傷則 - 3区分線形展開が含まれます）では、荷重速度を最大ひずみと同じに設定するのが一般的です。機械的荷重の増分の最小数は、20と定義されます。これは、初期時間ステップが、総ステップ時間を最小機械的増分で割ったものとして設定されることを意味します。

出力データファイルは、材料モデルディレクトリに生成されます。ファイルパスは、Multiscale Designer設定で変更できます。対応するファイル名と説明は、Multiscale Designer User Manualの‘Unit Cell Data Files’をご参照ください。

構造解析

ユーザー定義材料は、8つのCELAS1スプリング要素に結合される単位CHEXAキューブ要素の非線形準-静的解析により、OptiStructでシミュレートされます（図 8）。スプリングは非常に剛性が低く、一端で固定されています。4つのスプリングはy方向に結合され、別の4つはz方向に結合されています。これらのスプリングにより、y方向およびz方向の剛体運動はないことが保証されます。単位CHEXAキューブ要素はx並進方向に沿って拘束されます。スプリングに結合されている側面のx、y、z回転方向についても拘束され、要素は反対側の面にサブケース1と2でそれぞれ圧縮荷重 = 0.009mmと引張荷重 = 0.007mmを受けます。

Multiscale DesignerファイルとOptiStructとの統合

Multiscale Designerで入力ファイル（.mic）を選択します。
タブを選択します。Solver Interfacesタブを選択します。
OptiStructのオプションで、Multiscale Materialsタブをクリックします。
Multiscale Designer solver interface for OptiStructが開きます。
プラグイン“dll”とマルチスケール材料データファイルが、それぞれ材料サブルーチンとMultiscale Designerモデルを指していることを確認します。

材料サブルーチンとMultiscale Designerモデルのディレクトリ例は、それぞれ<hwinstallation_directory\hwsolvers\MultiscaleDesigner\win64\plugins\optiStruct\umat.dll>および<working_directory\MultiscaleDesigner\model_name\Mechanical\model_name_mdsMAT.dat>のようになります。

等方性損傷則で計算されるユーザー定義変数の数は8です。これには、損傷状態変数、相当ひずみ、全ひずみ、固有ひずみからの項が含まれます。
プラグインデータの出力フォルダーディレクトリを、モデルファイルパス<working_directory\model_name\Mechanical>に変更します。

生成されたプラグインデータファイル（OptiStruct_plugin_data.fem）には、構造解析実行のためのLOADLIB入出力カードとMATUSRカードが含まれます。LOADLIB入出力エントリを使用して外部サブルーチンを実装し、MATUSRを使用してユーザーの材料パラメータおよび特性を定義します。これらのカードは後でOptiStruct入力モデルファイル（*.fem）に挿入されます。
注:
1. 入力モデルファイルは、マルチスケール材料と同じフォルダーに配置する必要があります。材料サブルーチンは、LOADLIBを介してこのデータベースに呼び込まれます。
2. MATUSR内のUSUBIDの番号は、マルチスケール材料モデルIDを参照する必要があります。

単一スケール結果

Multiscale Designer-OptiStruct統合用にサンプルカードが生成され、OptiStructでユーザー定義材料による引張および圧縮の試験の結果が得られます。

均質化および損傷則の応力-ひずみ曲線より、弾性特性が示されます。

線形材料の特性計算

非線形材料の特性計算での鋳鉄の破壊入力特性のパラメータおよび値は、損傷開始時の応力が、引張の場合は126MPa、圧縮の場合は303MPaであることを示しています。該当する時間ステップ（材料が線形である間の時間ステップ）は、引張の場合0.15秒、圧縮の場合0.30秒です。図 9 に、x方向応力、x方向ひずみ、およびy方向ひずみのコンタープロットを示します。これらから、弾性方程式を使用して材料の弾性特性を計算することができます。このシミュレーションで、材料の均質化された弾性特性は入力特性と同じです。これは、材料が等方性とみなされるためです。

計算された均質化パラメータ特性および値は次のとおりです：

引張ヤング率（GPa）、 $E_{t}$: 95.5
圧縮ヤング率（GPa）、 $E_{c}$: 95.5
ポアソン比、 $ν$: 0.26

非線形材料の特性計算

Multiscale Designerで生成された応力-ひずみ曲線を図 10に示します。Multiscale Designerと実験との最大誤差は、ひずみが0.004のときの9.6%です。ひずみ値-0.01および0.008では、モデルは完全に損傷しています。したがって、ひずみ値が-0.095～0.0076の材料を使用することをお勧めします。この完全損傷ひずみに対応する応力は、それぞれ-0.96MPaと184.13MPaになります。実験¹¹とMultiscale Designerからのデータに対して結果がプロットされています。

Multiscale Designer-OptiStruct統合

Multiscale Designerで生成されたOptiStructプラグインファイルを図 11に示します。このファイルには、LOADLIB入出力カードとMATUSRカードの情報が含まれます。

構造解析

NLPARMおよびNLOUTカードは、OptiStructの非線形解析で、それぞれ解の制御と解の増分出力に使用されます。このモデルでは、増分結果はそれぞれ0.05の荷重増分値で出力されます。材料は、荷重係数が引張で0.175、圧縮で0.2875まで線形を維持します。図 12 は、該当する荷重係数のx方向応力、x方向ひずみ、およびy方向ひずみのコンタープロットを示します。図 12のワイヤーフレームは、非変形境界を示します。

図 13 は、MATUSRとLOADLIBを使用してOptiStructで生成された応力-ひずみ曲線を示しています。このプロットは、Multiscale Designerからのユーザー材料をOptiStructで適切にシミュレートできることを示しています。

マルチスケールモデル

マルチスケール材料モデルを構築するために必要な基本手順。

一方向繊維強化ポリマー複合材は、繊維の軸方向および横方向での引張荷重を受けます。材料の応答が出力され、実験データを使用して検証されます。最初の2つのセクションでは、Multiscale Designer（MDS）から要求される入力データについて説明します。次の2つのセクションでは、材料をOptiStruct（OS）に統合する手順について説明します。

単位セルモデルと線形材料特性

材料モデルタイプがマルチスケール材料特性として選択されます。単位セルは、正方形パッキング配列の繊維材料としてモデル化されます。繊維相の体積率は65%です。図 14 に、Multiscale Designerで使用可能な繊維複合材のさまざまな単位セルモデルを示します。

母材は均一な弾性特性でモデル化され、繊維は横方向の等方性を持つとみなされます。複合材の均質化剛性母材が得られるよう、単位セルには周期的境界条件が適用されます。

繊維および母材の線形弾性パラメータの特性と値 ¹³

母材のヤング率（GPa）、 $E^{m}$: 3.8
母材のポアソン比、 $ν^{m}$: 0.32
繊維の縦方向ヤング率（GPa）、 $E_{1}^{f}$: 252.25
繊維の横方向ヤング率（GPa）、 $E_{2}^{f}$: 13.45
縦方向ポアソン比、 $ν_{12}$: 0.02
横方向ポアソン比、 $ν_{23}$: 0.3

非線形材料の特性計算

母材は等方性損傷に従うものとみなされ、双一次展開モデルおよび繊維は直交異方性損傷に従うものとみなされます。双一次展開は、材料の非線形挙動のシミュレーションで使用されます。

損傷則の非線形入力パラメータの特性および値¹³は以下のとおりです：

損傷開始時の応力（MPa）、 $σ^{0 m}$: 126.0
最大応力時のひずみ、 $ε^{1 m}$: 0.1

繊維の損傷入力特性

損傷開始時の応力 – 縦方向（GPa）、 $σ_{1}^{0 f}$: 4.2
最大応力時のひずみ – 縦方向、 $ε_{1}^{1 f}$: 0.017
損傷開始時の応力 – 横方向（MPa）、 $σ_{2}^{0 f}$: 75.0
最大応力時のひずみ – 横方向、 $ε_{2}^{1 f}$: 0.05

繊維の軸方向および横方向での非線形材料特性では、単位板厚の2つの積層材レイアップがそれぞれ0°および90°の向きに作成されます。各積層材に対しては、さまざまな荷重速度でノッチなし引張 / 圧縮マクロシミュレーションが行われます。

マクロシミュレーションの入力値は以下のとおりです：

荷重速度 – 繊維の軸方向の試験（/ 秒）: 0.05
最大ひずみ – 繊維の軸方向の試験: 0.05
荷重速度 – 繊維の横方向の試験（/ 秒）: 0.017
最大ひずみ – 繊維の横方向の試験: 0.017

出力データファイルが材料モデルディレクトリ内に生成され、応力-ひずみ曲線データが<material_model_directory\model_name\mechanical\model_name_NLmatl.xlsx>のExcelスプレッドシートファイルにエクスポートされます。

Multiscale DesignerファイルとMultiscale Designer-OptiStructとの統合

Multiscale Designer solver interface for OptiStructで、Homogenized Materialsタブをクリックします。
Card ImageをMAT2、MAT8、MAT9、MAT9ORTに設定します。
Multiscale Materialsタブをクリックし、OptiStructプラグイン“dll”の出力ファイルパスを設定します。
マルチスケール材料データファイルで、<material_model_directory\model_name\mechanical\model_name_mdsMAT.dat>のファイルパスを参照します。

直交異方性損傷則で計算されるユーザー定義変数の数は8です。これには、損傷状態変数、相当ひずみ、全ひずみ、固有ひずみからの項が含まれます。
デフォルトでは、OptiStructプラグインデータファイルの出力先は、<material_model_directory\Macro\Mechanical\optiStruct_plugin_data.fem>です。

マルチスケールの結果

OptiStructの試験結果により、Multiscale Designer-OptiStruct統合用のサンプルカードが生成されます。

均質化および損傷則の応力-ひずみ曲線より、弾性特性が示されます。

単位セルモデルと線形材料特性

図 15 は、Multiscale Designerで生成された正方形繊維パッキング配列を表しています。この繊維体積率の単位セルサイズに対する繊維の相対半径は0.45です。

繊維 / 母材複合材の均質化された弾性特性。非線形材料特性。これらの値はすべて、<material_model_directory\model_name\mechanical\model_name_Lmatl.xlsx>のExcelスプレッドシートにあります。

縦方向ヤング率（GPa）、 $E_{1}^{c}$: 165.4
横方向ヤング率（GPa）、 $E_{1}^{t}$: 8.8
縦方向ポアソン比、 $ν_{12}^{c}$: 0.11
横方向ポアソン比、 $ν_{23}^{c}$: 0.34

非線形材料の特性計算

図 16 および図 17は、繊維の軸方向と横方向の引張試験でMultiscale Designerにより生成された応力-ひずみ曲線を示します。これらの値は、実験データの上にプロットされています。¹³ Multiscale Designerと実験での引張降伏強度の最大誤差は、繊維の軸方向試験で6.0%、繊維の横方向試験で11.3%です。

Multiscale Designer-OptiStruct統合

Multiscale Designerで生成されたMAT9ORT材料ファイルを図 18に示します。これらのファイルは、OptiStructで構造解析の実行に使用されます。LOADLIB入出力カードおよびMATUSRカードを含むOptiStruct プラグインファイルは、図 11と同じです。

¹ Chaboche, J. L., K. Dang Van, and G. Cordier. "Modelization of the strain memory effect on the cyclic hardening of 316 stainless steel." (1979).

² Chaboche, Jean-Louis, and G. Rousselier. "On the plastic and viscoplastic constitutive equations—Part II: application of internal variable concepts to the 316 stainless steel." (1983): 159-164.

³ Chaboche, Jean-Louis. "Time-independent constitutive theories for cyclic plasticity." International Journal of plasticity 2.2 (1986): 149-188.

⁴ Chaboche, Jean-Louis. "Constitutive equations for cyclic plasticity and cyclic viscoplasticity." International journal of plasticity 5.3 (1989): 247-302.

⁵ Chaboche, J. L., and D. Nouailhas. "Constitutive modeling of ratchetting effects—part i: experimental facts and properties of the classical models." (1989): 384-392.

⁶ Chaboche, Jean-Louis. "On some modifications of kinematic hardening to improve the description of ratchetting effects." International journal of plasticity 7.7 (1991): 661-678.

⁷ Lemaitre, Jean, and Jean-Louis Chaboche. Mechanics of solid materials. Cambridge university press, 1994.

⁸ Broggiato, Giovanni B., Francesca Campana, and Luca Cortese. "The Chaboche nonlinear kinematic hardening model: calibration methodology and validation." Meccanica 43.2 (2008): 115-124.

⁹ Chaboche, Jean-Louis. "A review of some plasticity and viscoplasticity constitutive theories." International journal of plasticity 24.10 (2008): 1642-1693

¹⁰ Altair Engineering Inc. 2018.Multiscale Designer：User Manual.Troy, MI

¹¹ Downing, S.D., 1984.“Modeling Cyclic Deformation and Fatigue Behavior of Cast Iron under Uniaxial Loading,” Report No. 11, University of Illinois at Urbana-Champaign, IL

¹² Fish, J., 2014. Practical Multiscaling.John Wiley & Sons, Ltd.

¹³ Yuan, Z., Crouch, R., Wollschlager, J., Shojaei, A., Fish, J., 2016. “Assessment of Altair Multiscale Designer for damage tolerant design principles (DTDP) of advanced composite aircraft structures,” Journal of Composite Materials, 51(10): 1379-1391