応答

重み付きコンプライアンスは、トポロジー最適化で複数のサブケース(荷重ステップ、荷重ケース）を考慮するための基礎的な方法です。応答は、個別のサブケース（荷重ステップ、荷重ケース）のコンプライアンスと重みの積和です。(1) $$C_W={\displaystyle \sum _i{W}_i{C}_i=\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _i{W}_i{u}_i^T{f}_i}}$$

固有値の逆数に対する重み付けは、トポロジー最適化で複数の周波数を考慮する基礎的な方法です。応答は、最適化で考慮される各個別モードの固有値の逆数と重みの積和です。(2) $f_W={\displaystyle \sum _i\left(\frac{W_i}{\lambda {}_i}\right)}$

コンプライアンスの重ね合わせによる指標は、トポロジー最適化で組み合される、複数の周波数および静解析のサブケース（荷重ステップ、荷重ケース）を考慮する基礎的な方法です。この指標は次のように定義されます。(3) $$S={\displaystyle \sum _i{W}_i{C}_i+}NORM\left(\frac{{\displaystyle \sum _j\left(\frac{W_j}{\lambda {}_j}\right)}}{{\displaystyle \sum _j{W}_j}}\right)$$

一般的に$$NORM$$の値は次の公式を使用して計算されます：<equation-figure id="internal_responses_subcase_independent_r_equation-figure_kch_ysp_tz"></equation-figure>(4) $$NORM=C_{\max }{\lambda }_{\min }$$

コンプライアンス$C$は次の関係を使用して計算されます：(5) $C=\frac{1}{2}{u}^{T}f$

または(6) $C=\frac{1}{2}{u}^{T}Ku=\frac{1}{2}{\displaystyle \int {\epsilon }^T\sigma dv}$

適用荷重$f$サブケースを含む構造については、コンプライアンス $C$は剛性$K$の逆の指標と考えることができます：(7) $C=\frac{1}{2}{u}^{T}f=\frac{1}{2}\frac{f^{T}f}{K^T}=\frac{1}{2}\frac{f^2}{K}$

適用変位$u$サブケースを含む構造については、コンプライアンス $C$は剛性$K$の直接の指標と考えることができます：(8) $C=\frac{1}{2}{u}^{T}f=\frac{1}{2}{u}^{T}Ku=\frac{1}{2}{u}^{2}K$

ここで、

$$X$$

トポロジー設計変数のベクトル

$$f(X)$$

目的関数

$$g_j\left(X\right)$$

j番目の拘束

$$m_1$$

局所応力制約の数

$$m$$

制約の総数

一般的に、$$m_1$$は、要素の数と等価で、大きな数になります。ALMは、最適化式 9を以下のフォーマットに変換します。(10)

(11)EQ 2 $$s.t.g_j\left(X\right)\le 0,j=m_1+1,\dots ,m_1$$

ここで、

$${\rho }_j$$

要素密度

$${\sigma }_j$$

要素フォンミーゼス応力

$${\sigma }_{\lim }$$

応力の上限

$${\lambda }_j$$

ラグランジュ乗数推定値

$$\mu >0$$

2次ペナルティ係数

ペナルティ係数は、通常、次のように更新されます：(12)

ここで、

$$\alpha >1$$

更新パラメータ

$${\mu }_{\max }$$

数値不安定性を回避するための上限

パラメータは、$${\mu }^{(0)}=10$$、$${\mu }_{\max }={10}^6$$、$$\alpha =1.3$$、$$\eta =0.5$$、$$\epsilon ={10}^{-6}$$、$$p=3$$のように設定されます。 $\beta$ は、最初に1.0に設定され、5回の反復ごとに1.3倍されます。上限は30.0です。このプロセスに基づいて、トポロジー最適化は1フェーズ以内に実行されます。

トポロジー最適化およびフリー寸法最適化には、DTPLまたはDSIZEカードのSTRESS追加継続行で、フォンミーゼス応力の制約条件を定義することができます。この制約条件には、次のような幾つかの制限があります：

• 応力の制約条件は、１つのフォンミーゼス許容応力に限定されます。異なる許容応力を有する異なる材料が構造内に存在する場合、特異トポロジーの現象が発生します。特異トポロジーは、応力の制約条件の条件付き性質に関連した問題のことで、要素がなくなると、要素の応力制約条件は消失します。これは、設計領域全体で勾配ベースの最適化エンジンによっては通常得ることができない解をもつ多数の縮退問題が存在するという別の問題を生じます。
• 部分領域の削除によりすべての応力制約条件が削除される惧れがあり、これにより最適化問題が正しく設定されなくなるため、構造の部分領域についての応力の制約条件は許可されません。したがって、応力の制約条件は、アクティブである際は、設計領域と非設計領域の両方を含むモデル全体に適用され、応力制約条件の設定は、すべてのDSIZEおよびDTPLカードについて等しくなければなりません。
• 集中荷重および集中境界条件によって生じる人工的応力制約条件をフィルタにかけるために、ビルトインインテリジェンスが装備されています。境界形状に起因する応力集中も、局所的な形状の最適化でより効率的に改良されるよう、ある程度フィルタにかけられます。
• 応力の制約条件がアクティブである要素が多数あるために、.outファイル内の保持された制約条件の表に要素応力のレポートが示されません。モデルの応力の状態の反復計算履歴は、HyperViewまたはHyperMeshで確認できます。
• 応力の制約条件は、１次元要素には適用されません。
• モデル内に強制変位が存在する場合、応力の制約条件は使用されない場合があります。

現時点では、設計空間を構成しない要素の目的関数または制約条件として、次の応答が使用可能です。

ボア変形は、最適化を含む線形または非線形静解析が実行される際に、内部応答として使用することが可能です。ボア変形応答は、RTYPE=BOREDSTオプションを用いてアクティブ化されます。ATTAフィールドは、ORDER数の特定に使用でき、CIRCUL（真円度）にセットすることが可能です。ATTiフィールドは、BOREバルクデータエントリのIDの特定に使用できます。ORDERが、ATTAフィールドを整数値にセットすることで定義されている場合、指定された次数のボア変形応答が最適化に用いられます。ボアの各リング毎に１つのボア変形応答が作成されます。同様に、CIRCULが定義されていると、真円度応答はボアの各リングに作成されます。

熱コンプライアンス$C$は、以下を用いて計算されます：(13) $T_{Comp}=\frac{1}{2}{T}^{T}f=\frac{1}{2}{T}^T\left(K_C+H\right)T$

ここで、

$T$

温度ベクトル

$f$

パワーベクトル

$K_C$

伝導マトリックス

$H$

対流マトリックス

熱コンプライアンスは、構造の熱伝導問題に関するグローバルな指標で、構造全体について計算されます。熱コンプライアンスは、線形定常熱伝導サブケース（荷重ステップ、荷重ケース）に割り当てる必要があります。

最適化の実行時にノーマルモード応答を使用するには、以下の２つの方法があります：

1. DRESP1エントリのATTAフィールドを、応答として使用したいノーマルモード数に等しく設定します。このプロセスでは、最適化されるべきモード数を特定して提供します。
2. また、既存のノーマルモードサブケースに加えて別のモーダル周波数応答サブケースを加えることにより、ピーク荷重周波数における最大モード寄与度を伴うモードの番号を求めることも可能です。ATTAフィールドはモード数を特定し、ATTiフィールドはモーダル周波数応答サブケースのサブケースIDに等しく設定する必要があります。モーダル周波数応答解析サブケースには、ピーク識別基準を定義するPEAKOUTエントリが含まれていなくてはなりません。OptiStructは、対応する応答に最も寄与する各ピーク応答についてモード（ATTA）をピックすることにより、モーダル周波数応答解析に基づき、最適化されるべきモードを内部的に特定します。したがって、最適化用に特定された最大モード数は、 (ATTA) * NPEAK （PEAKOUT上）に等しくなります。

過渡コンプライアンス $${\tau }_2$$は次のように定義されます。(14) $${\tau }_2=\frac{{\displaystyle \underset{0}{\overset{T_f}{\int }}f{(t)}^{T}u(t)dt}}{T_f}$$

ここで、

$f{\left(t\right)}^T$

適用される力（時間依存）の転置

$$u\left(t\right)$$

過渡変位

$$T_f$$

解析終了時間

過渡変位$${\tau }_3$$は次のように定義されます。(15) ${\tau }_3=u\left(t\right){|}_{t=t_i}=\underset{0}{\overset{T}{{\displaystyle \int }}}{u}_j\text{δ}\left(\text{t}-t_i\right)\text{dt}$

ここで、

$$u\left(t\right)$$

過渡変位

$\text{δ}\left(\text{t}-t_i\right)$

負荷加振

変位差応答の平均平方根$${\tau }_4$$は次のように計算されます：(16) ${\tau }_4=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{{\displaystyle \int }}}{\left[u_i\left(t\right)- u_j\left(t\right)\right]}^2\text{dt}$

NORMメソッドは、特定の応答に含まれるすべての節点 / 要素の特定の応答の最大値を近似的に計算するために使用されます。また、これは各節点 / 要素に対して指定される応答の限度でスケーリングされます。したがって、特定の節点 / 要素セットの最大応答を最小限に抑えるため、結果として生じるNORM値（$$R_{NORM}$$）は、内部的に1.0より小さい値に制限されます。 (17) $$R_{NORM}={\left[\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(\frac{R_i}{R_{bound}}\right)}^p}\right]}^{1/p}$$

ここで、

$$R_{NORM}$$

応答NORM値

$$n$$

要素の数

$$R_i$$

各節点 / 要素“$$i$$"の個別の応答値

$$R_{bound}$$

各節点 / 要素に対する応答の限度

$$p$$

ペナルティ（パワー）値（デフォルト = 6.0）

Open Matrix Language（OML）関数は次のように定義されます：

integer function myfunct(iparam, rparam, nparam,
                        iresp,  rresp, dresp, nresp, isens 
                        userdata)

Fortran関数は次のように定義されます：

integer function myfunct(iparam, rparam, nparam,
                         iresp,  rresp, dresp, nresp, isens 
                         userdata)

character*32000 userdata
integer nparam, nresp
integer iparam(nparam), iresp(nresp)
double precision param(nparam), rresp(nresp), dresp(nparam,nresp)

C関数は次のように定義されます：

int myfunct(int* iparam, double* rparam, int* nparam,
            int* iresp,  double* rresp, double* dresp, int* nresp, int* 
            isens, char* userdata)

移植性を確実にするために、下記について厳守する必要があります：

• 関数名は、小文字のみ、もしくは大文字のみのいずれかで書く
• 英数字のみを使用する
• 強調文字は使用禁止
• 関数名は８文字以下

以下の一覧は、OptiStructから外部関数に渡される引数を簡単に説明したものです。

パラメータ：

• nparamは、DRESP3カードで定義された入力パラメータの数です。
• rparam(nparam)には、OptiStructによって評価される入力パラメータの値が含まれます。
• iparam(nparam)は、上記の入力パラメータのタイプを示します。

現時点では、下記のタイプがサポートされています：

パラメータタイプ

iparam Value

DESVAR

1

DTABLE

2

DGRID/DGRIDB

3

DRESP1

4

DRESP2

5

DRESP1L

6

DRESP2L

7

DVPREL1

8

DVPREL2

9

DVMREL1

10

DVMREL2

11

DVCREL1

12

DVCREL2

13

DVMBRL1

14

DVMBRL2

15

DEIGV

16

DGRIDB

18

応答：

• nrespは、DRESP3カードのMAXRESPフィールドに定義されているとおり、関数が計算できる応答の最大数です。
• rresp(nresp)は、外部関数によって評価された応答の値を戻します。
• iresp(nresp)には、以下に説明する応答要求が含まれます。

  応答要求一覧は、使用可能である応答のいずれがOptiStructによって実際に必要とされているかを示します。iresp(nresp)内のエントリは、要求された応答の場合は1、それ以外は0でフラグが立てられます。OptiStructが必要としない応答を評価することなく計算結果を保存するために、この情報をオプションで使用することが可能です。

Compute Console (ACC)からインストールパスを指定するには、次の2つの方法があります。

• Preferences > Edit

  
  
  図 2.

• Options欄

入力デックdresp3_simple.femには、これら外部関数の両方をコールする例題が含まれています。FortranライブラリおよびCライブラリを参照する2つのLOADLIBカードが定義されます：

LOADLIB DRESP3   FLIB   dresp3_simple_f.dll
LOADLIB DRESP3   CLIB   dresp3_simple_c.dll

Fortran関数とC関数をポイントし、これらの各関数内の1番目と2番目の応答を要求する4つのDRESP3カードを作成しました。2つのDRESP1応答はパラメータとして使用されます：

DRESP3 6      SUMF     FLIB    MYSUM        1       2
+      DRESP1    2        3
DRESP3 7      AVGF     FLIB    MYSUM        2       2
+      DRESP1    2        3
DRESP3 8      SUMC     CLIB    MYSUM        1       2
+      DRESP1    2        3
DRESP3 9      AVGC     CLIB    MYSUM        2       2
+      DRESP1    2        3

検証を目的に、これらのパラメータの合計および平均合計の評価を行う2つのシンプルな式をポイントする2つのDRESP2カードも定義しました：

DEQATN  1       F(x,y) = x+y
DEQATN  2       F(x,y) = avg(x,y)

DRESP2  4           SUME        1
+       DRESP1         2        3
DRESP2  5           AVGE        2
+       DRESP1         2        3

外部関数は、応力（ひずみ）成分に基づいて、要素のフォンミーゼス応力と最大主応力（ひずみ）を計算することができます。シェル要素については3つの成分、ソリッド要素については6つの成分をパラメータとして渡すことが可能です。下記のフィーチャーが使用されます：

• USRDATAストリングは、応力またはひずみが要求されているかを判断するために解析され、要求されていない場合はエラーメッセージが戻されます。
• パラメータ数は、シェル要素またはソリッド要素が扱われているかどうかを判断し、その数が3または6に等しくない場合はエラーメッセージが戻されます。
• 応力またはひずみ成分が求められているため、パラメータがタイプDRESP1またはDRESP1Lでない場合はエラーメッセージが戻されます。
• 関数が2つの異なる応答を計算することができても、その関数がコールされた際は、OptiStructによって実際に要求されている応答のみが計算されます。
• どの応答が評価されているかを示す情報メッセージが戻されます。

DRESP1の応答10-12および13-18はそれぞれ、2次元要素および3次元要素の応力成分に対応しています。DRESP1の応答20-23は、同じ2つの要素のフォンミーゼス応力および最大主応力を評価します。

DRESP1  10     SXX2D   STRESS  ELEM           SX1         100
DRESP1  11     SYY2D   STRESS  ELEM           SY1         100
DRESP1  12     SXY2D   STRESS  ELEM          SXY1         100
DRESP1  13     SXX3D   STRESS  ELEM           SXX          50
DRESP1  14     SYY3D   STRESS  ELEM           SYY          50
DRESP1  15     SZZ3D   STRESS  ELEM           SZZ          50
DRESP1  16     SXY3D   STRESS  ELEM           SXY          50
DRESP1  17     SXZ3D   STRESS  ELEM           SXZ          50
DRESP1  18     SYZ3D   STRESS  ELEM           SYZ          50

DRESP1  20     SVM2D-1 STRESS  ELEM          SVM1         100
DRESP1  21     SMP2D-1 STRESS  ELEM          SMP1         100
DRESP1  22     SVM3D-1 STRESS  ELEM           SVM          50
DRESP1  23     SMP3D-1 STRESS  ELEM           SMP          50

また、同じ応力結果を自分達の外部ライブラリを用いて計算するDRESP3カードを定義してあります。同様のカードのパラメータを複製するために、SECONDフィーチャーも使っています。

DRESP3  30     SVM2D-3    STRLIB  GETSTR             1       2
+       DRESP1       10       11      12 
+       USRDATA STRESS
DRESP3  31      SMP2D-3   STRLIB  GETSTR             2        2
+       SECOND         30
DRESP3  32      SVM3D-3   STRLIB  GETSTR             1        2
+       DRESP1        13      14      15     16     17       18
+       USRDATA STRESS
DRESP3  33      SMP3D-3   STRLIB   GETSTR            2        2
+       SECOND         32

これは、Excelワークシート内の2つの例を使用して入出力パラメータを定義するシンプルなインプリメンテーションです。列1は入力パラメータを、列2は出力パラメータをリストするために使用できます。

LOADLIB DRESP3    ELIB    dresp3_excel.xlsx
DRESP3       10      SUM    ELIB   MYSUM
+        DRESP1        5       6

この高度なインプリメンテーションでは、セル入力番号が指定されます。入出力データ用のセルがリストされます。

LOADLIB DRESP3  ELIB    dresp3_excel.xlsx

DRESP3       20   FUNC    ELIB  MYFUNC
+        DRESP1      5       6       7      8
+        DESVAR      1
+        CELLIN     B3     THRU     B6 
+        CELLIN    C10
+        CELLOUT   E10