RD-E：1101 弾塑性材料則の特性化

試験体に引張力が作用します。標準化されている“ドッグボーン”試験体には、断面積$$A_0$$が規定されています。特性の評価対象とする材料はDP600鋼です。¹ 試験体の右端に速度が適用されます。

単位： mm、ms、Kg、N、GPa

図 1. 標準化されている引張試験体の形状. 断面積は規定値

この試験体の材料は、Johnson-Cookモデル（/MAT/LAW2）で再現できる等方性弾塑性挙動を示します。表形式材料則（/MAT/LAW36）も検討されます。

この試験体のモデルを、図 2に示すように、4節点のシェルと3節点のシェルでメッシュ化します。平均の要素サイズは約2mmです。

境界条件

試験体の左端は、6方向の自由度（3方向の並進自由度と3方向の回転自由度）のすべてで固定されています。右端はX方向の並進のみが自由で、他の5方向の自由度はすべて固定されています。X方向に-1.0m/sの速度を、この剛体のメイン節点（図 2に示した点）に適用し、低速で試験体の伸張量が均一に増加するようにします。

図 2. 引張試験体に適用するすべての境界条件

80mm離れた2つの測定節点（図 3）を選択し、シミュレーションで試料の測定部分に発生する$$\text{Δ}l$$の変化を継続的に測定し、試料のひずみ${\epsilon }_e$を求めます。

工学応力の合計値を次の式から求めます。(2) ${\epsilon }_e= \frac{\text{Δ}l}{l_0}$ ここで、

$\text{Δ}l$

2つの測定点間長さの変化量

$l_0$

測定部分の初期長さ

図 3. 80mm離れた測定節点

したがって、真応力公称応力の間の関係式は：(7) ${\sigma }_{tr}= {\sigma }_e\times exp\left({\epsilon }_{tr}\right)$

図 4. DP600鋼試験体の引張試験で得られた実験結果

材料則の特性化

材料則の特性化には2つのステップがあります。

工学応力工学ひずみ曲線から、真応力真ひずみ曲線への変換（このステップはあらゆる弾塑性材料則に適用されます）。

真応力対真ひずみの曲線から主なパラメーターを取り出し、材料則を定義（Johnson-Cook則と/MAT/LAW2のための材料係数、または/MAT/LAW36のための降伏曲線）。

設計が早期段階であるなどの理由で材料試験データがない場合は、降伏応力、引張強度（UTS、工学応力値）、およびUTSにおける工学ひずみの各値を用意し、I_flag = 1を使用して/MAT/LAW2を特性化する必要があります。

この特性化は、/MAT/LAW2（Johnson-Cook弾塑性）と/MAT/LAW36（表形式弾塑性）を対象として実施します。それぞれの材料則で、降伏応力とヤング率は曲線から決められます。

曲線で特性化される重要なポイントはネッキングポイントで、力対変位の曲線の勾配が0になり、以下の関係式が与えられます：(9) $$\frac{\partial {\sigma }_{tr}}{\partial {\epsilon }^{tr}}\approx {\sigma }_{tr}\frac{\partial F}{\partial \delta }=0$$

図 5. 引張試験の図式. （0～1： 弾性領域、1： 降伏点、2： ネッキングポイント、3a： 破断、3b： 線形弾性緩和）

/MAT/LAW2： Johnson-Cookモデルを使用した弾塑性材料則

材料パラメータ$b$と$n$がない場合、Radiossでは/MAT/LAW2、I_flag = 1を使用できます。この場合は、UTS（引張強度。工学値）およびUTSにおける工学ひずみを入力します。多くの場合、これらの値は文献や材料供給元からオンラインで入手できます。つづいて、式 10に使用するパラメータ$b$と$n$をRadiossで計算します。

シミュレーションでは要素の真応力と真ひずみが算出されるので、その結果から工学応力工学ひずみ曲線を計算する必要があります。試験同様に、工学応力は式 1および剛体力と試験前の断面積を使用して計算できます。工学ひずみは、式 2および2つの測定節点間距離に発生した変位と試験前の測定節点間距離を使用して計算できます。このモデルでは、節点102を原点とする局所運動座標系を使用して、節点102の変位を基準とする節点616の変位を測定します。これにより、2つの節点間の変位を節点616の変位として出力できます。

応力ひずみ曲線のシミュレーション結果と試験結果を比較すると、試験による曲線から読み取った最大応力値とシミュレーションで得られた最大応力値が完全に一致していることがわかります。ネッキングポイント前のシミュレーション曲線の当初挙動には、試験による曲線との相違が見られ（図 6）、応力値がわずかに高くなっています。/MAT/LAW36を使用すること、および応力ひずみ曲線の試験データを入力することで、この相違を改善できます。

図 6. /MAT/LAW2を使用した結果と試験結果の比較

/MAT/LAW36：表形式入力関数を使用した弾塑性材料則

引張試験データが手元にあるので、そのデータを材料則LAW36で使用すれば、より正確な方法になります。最初のステップは、試験データを用意し、式 4と式 7を使用して真応力真ひずみ曲線を計算することです。

図 7. 真応力ひずみ曲線（実験データ）と比較した工学応力ひずみ曲線

ネッキングポイントとは、工学応力ひずみ曲線の傾斜がゼロになるポイントです。ネッキングポイント以降のすべての値は、/MAT/LAW36の材料曲線の作成に使用できないので、データから除外して無視できます。ネッキングポイント以降の値は、材料が破断するひずみよりも大きいひずみまで外挿して求める必要があります。引張強度が0.129になる工学ひずみでネッキングポイントが発生します。図 8のように、このポイントから塑性ひずみの100%の値まで、曲線をまっすぐに外挿しています。

次に、式 8を使用して真応力と真塑性ひずみとの関係を計算します。

図 8. 100%まで外挿した真応力真塑性ひずみ曲線

図 8の曲線をLAW36の入力として使用すると、図 9に示すように、降伏点からネッキングポイントまでのシミュレーション結果が、試験で得られた曲線と完全に一致します。ネッキング以降の挙動は、ネッキング以降の真ひずみ対真塑性ひずみのデータを外挿する方法に応じて異なります。

図 9. /MAT/LAW36による引張試験のシミュレーション結果と試験結果との比較

/FAIL/BIQUAD： 線形ダメージ累積による破断の、簡素化した非線形ひずみに基づく条件

弾塑性材料モデルの中には、破断時点の単一の塑性ひずみを入力して材料の破断をモデル化できるものがあります。塑性ひずみがユーザー定義の値${\epsilon }_p^{max}$に達すると、要素は削除されます。

まとめ

この例題の前半では、広く使用されているRadiossの各種材料則を特性化および検証する方法を紹介しました。いくつかの材料パラメータを指定した/MAT/LAW2 (PLAS_JOHNS)材料を使用し、その材料を表現しました。引張試験の実験データを指定した/MAT/LAW36 (PLAS_TAB)材料を使用し、より正確なシミュレーションを目指しました。“工学”または“真”の応力-ひずみ曲線の使用を提示しました。

引張と圧縮での破断の挙動を記述するために、線形ダメージ累積による破断の、簡素化した非線形ひずみに基づく条件（/FAIL/BIQUAD）を使用して、実験での応答との一致性を改善しました。