/MAT/LAW112（PAPERまたはXIA）

ブロックフォーマットのキーワード Paperboard則では、2002年にXiaによって提唱された直交異方性の非対称弾塑性材料がモデル化されます。

基本原理は、紙シートの平面内の挙動と平面外の挙動を完全に分離するということです。引張状態と圧縮状態について、荷重方向ごとに降伏応力が定義されます。

フォーマット

(1)	(3)	(5)	(7)	(8)	(9)
/MAT/LAW112/`mat_ID`/`unit_ID`または/MAT/PAPER/`mat_ID`/`unit_ID`または/MAT/XIA/`mat_ID`/`unit_ID`
`mat_title`
$ρ_{i}$
`E`₁	`E`₂	`E`₃	`Ires`	`Itab`	`I`_smooth
$ν_{21}$	`G`₁₂	`G`₂₃	`G`₁₃
`K`	`E3C`	`CC`
$ν_{1 p}$	$ν_{2 p}$	$ν_{4 p}$	$ν_{5 p}$

Itab = 0の場合は、連続的な降伏応力を挿入します。

(1)	(3)	(5)	(7)
`S01`	`A01`	`B01`	`C01`
`S02`	`A02`	`B02`	`C02`
`S03`	`A03`	`B03`	`C03`
`S04`	`A04`	`B04`	`C04`
`S05`	`A05`	`B05`	`C05`
`ASIG`	`BSIG`	`CSIG`
`TAU0`	`ATAU`	`BTAU`

Itab = 1の場合は、表形式の降伏応力を挿入します。

(1)	(3)	(5)
`TAB_YLD1`	`MAT_Xscale1`	`MAT_Yscale1`
`TAB_YLD2`	`MAT_Xscale2`	`MAT_Yscale2`
`TAB_YLD3`	`MAT_Xscale3`	`MAT_Yscale3`
`TAB_YLD4`	`MAT_Xscale4`	`MAT_Yscale4`
`TAB_YLD5`	`MAT_Xscale5`	`MAT_Yscale5`
`TAB_YLDC`	`MAT_XscaleC`	`MAT_YscaleC`
`TAB_YLDS`	`MAT_XscaleS`	`MAT_YscaleS`

定義

フィールド	内容	SI単位の例
`mat_ID`	材料識別子（整数、最大10桁）
`unit_ID`	単位の識別子（オプション）（整数、最大10桁）
`mat_title`	材料のタイトル（文字、最大100文字）
$ρ_{i}$	初期密度。（実数）	$[\frac{kg}{m^{3}}]$
`E`_i	i番目の直交異方性方向のヤング率。（実数）	$[Pa]$
$ν_{i j}$	i番目とj番目の直交異方性方向に関連するポアソン比。（実数）
$G_{i j}$	i番目とj番目の直交異方性方向に関連するせん断係数。（実数）	$[Pa]$
`Ires`	塑性の解法。 = 0 2に設定されます。 = 1 NICE（Next Increment Correct Error）陽解法。 = 2（デフォルト） Newton反復法 - 切断面。（整数）
`Itab`	降伏応力の計算。 = 0 連続的な降伏応力。 = 1 表形式の降伏応力。（整数）
`I`_smooth	補間タイプ（表形式降伏関数の場合）。 = 1（デフォルト）線形補間。 = 2 対数補間（底10）。 =3 対数補間（底n）。（整数）
`K`	面内降伏曲面指数。デフォルト = 1.0（実数）
`E3C`	1つ目の弾性圧縮パラメータ。デフォルト = `E`₃（実数）	$[Pa]$
`CC`	2つ目の弾性圧縮パラメータ。デフォルト = 1.0（実数）
$ν_{1 p}$	方向1の引張塑性ポアソン比。（実数）
$ν_{2 p}$	方向2の引張塑性ポアソン比。（実数）
$ν_{4 p}$	方向1の圧縮塑性ポアソン比。（実数）
$ν_{5 p}$	方向2の圧縮塑性ポアソン比。（実数）
`S0i`	i番目の荷重方向の初期降伏応力。各方向は、次の順序に従って特定の荷重方向に関連付けられています： i=1 直交異方性方向1の引張。 i=2 直交異方性方向2の引張。 i=3 面内せん断。 i=4 直交異方性方向1の圧縮。 i=5 直交異方性方向2の圧縮。 i=C 面外方向3の圧縮。 i=S 横せん断方向。デフォルト = 1.0e20（実数）	$[Pa]$
`A0i`	i番目の荷重方向の1つ目の硬化パラメータ。（実数）	$[Pa]$
`B0i`	i番目の荷重方向の2つ目の硬化パラメータ。（実数）
`C0i`	i番目の荷重方向の3つ目の硬化パラメータ。（実数）	$[Pa]$
`ASIG`	圧縮での初期面外降伏応力。デフォルト = 1.0e20（実数）	$[Pa]$
`BSIG`	圧縮での1つ目の面外硬化パラメータ。（実数）	$[Pa]$
`CSIG`	圧縮での2つ目の面外硬化パラメータ。（実数）
`TAU0`	初期横せん断降伏応力。デフォルト = 1.0e20（実数）	$[Pa]$
`ATAU`	1つ目の横せん断硬化パラメータ。（実数）	$[Pa]$
`BTAU`	2つ目の横せん断硬化パラメータ。（実数）
`TAB_YLDi`	i番目の荷重方向の表形式の降伏応力 - 塑性ひずみ - ひずみ速度関数の識別子。（整数）
`MAT_Xscalei`	i番目の荷重方向の表形式の降伏 - 塑性ひずみ - ひずみ速度関数のXスケールファクター。デフォルト = 1.0（実数）	$[Hz]$
`MAT_Yscalei`	i番目の荷重方向の表形式の降伏 - 塑性ひずみ - ひずみ速度関数のYスケールファクター。デフォルト = 1.0（実数）	$[Pa]$

例（紙）

#RADIOSS STARTER
/UNIT/1
unit for mat
                  Mg                  mm                   s
#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|
/MAT/LAW112/1/1
Xia
#              RHO_I
            7.83E-10
#                 E1                  E2                  E3      Ires      Itab   Ismooth       
                4193                1554                1554         2         0         0
#               nu21                 G12                 G23                 G13  
              0.1011                 988                  76                  76
#                  K                 E3C                  CC                 
                 2.0                47.2               24.46                 
#               nu1p                nu2p                nu4p                nu5p
               0.555              0.1537                0.18               0.145
#                S01                 A01                 B01                 C01
                12.0                19.0               260.0               800.0
#                S02                 A02                 B02                 C02
                 6.5                40.0               160.0               250.0
#                S03                 A03                 B03                 C03       
                 6.0                11.0               100.0               125.0
#                S04                 A04                 B04                 C04
                 7.3                 6.0               160.0               300.0
#                S05                 A05                 B05                 C05
                 6.3                 9.0               310.0               225.0
#               ASIG                BSIG                CSIG
               16.55               16.55                3.16
#               TAU0                ATAU                BTAU
                 2.1                 9.0                 2.0    
#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|
#ENDDATA

例（表形式）

#RADIOSS STARTER
/UNIT/1
unit for mat
                  Mg                  mm                   s
#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|
#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|          
/MAT/LAW112/1/1
Xia_tab
#              RHO_I
            7.83E-10
#                 E1                  E2                  E3      Ires      Itab   Ismooth       
                4193                1554                1554         1         1         1
#               nu21                 G12                 G23                 G13 
              0.1011                 988                  76                  76
#                  K                 E3C                  CC                 
                 2.0                47.2               24.46                 
#               nu1p                nu2p                nu4p                nu5p
               0.555              0.1537                0.18               0.145
#           TAB_YLD1         MAT_Xscale1         MAT_Yscale1
                  25                 1.0                 1.0
#           TAB_YLD2         MAT_Xscale2         MAT_Yscale2
                  25                 1.0                0.35
#           TAB_YLD3         MAT_Xscale3         MAT_Yscale3
                  25                 1.0                0.75
#           TAB_YLD4         MAT_Xscale4         MAT_Yscale4
                  25                 1.0              0.6341
#           TAB_YLD5         MAT_Xscale5         MAT_Yscale5
                  25                 1.0                 0.5
#           TAB_YLDC         MAT_XscaleC         MAT_YscaleC
                  25                 1.0                 0.5
#           TAB_YLDS         MAT_XscaleS         MAT_YscaleS
                  25                 1.0                 0.5 
/FUNCT/46
ecoulement2   
#     plastic strain              stress                                                                                
                 0.0	           12.00
               0.012	 32.979020979021
               0.025	50.4615384615385
                0.05	            74.5
               0.075	90.9473684210526
                 0.1	102.909090909091
               0.125	          112.00
                0.15	119.142857142857
               0.175	124.903225806452
                 0.2	129.647058823529
                0.25	          137.00
                 0.3	142.434782608696
                 0.4	149.931034482759
                 0.5	154.857142857143
                 1.0	165.846153846154   
/TABLE/1/25
Yld Functions : plastic strain + strain rate dependency
#DIMENSION
         2
#   FCT_ID                   strain rate                                                     Scale_y
        46                           0.0                                                        1.00
        46                           1.0                                                        1.10
        46                           5.0                                                        1.15
        46                          10.0                                                        1.20
        46                         100.0                                                        1.25
        46                      100000.0                                                        1.35  
#---1----|----2----|----3----|----4----|----5----|----6----|----7----|----8----|----9----|---10----|
#enddata

Paperboard材料則の挙動を表すために、次の直交異方性方向が考慮されます。

図 1.
この材料則の弾性挙動は直交異方性です。
面内挙動は、面外挙動と完全に分離される必要があり、次のように計算されます：(1)
${\begin{cases} σ_{x x} = C_{11} ε_{x x} + C_{12} ε_{y y} \\ σ_{y y} = C_{21} ε_{x x} + C_{22} ε_{y y} \\ σ_{x y} = G_{12} γ_{x y} \end{cases}$

ここで、 $C = \frac{1}{1 - ν_{12} ν_{21}} [\begin{matrix} E_{1} & ν_{12} E_{2} \\ ν_{21} E_{1} & E_{2} \end{matrix}]$

横せん断成分は次のように計算されます：(2)
${\begin{cases} σ_{y z} = G_{23} ε_{y z} \\ σ_{z x} = G_{21} ε_{z x} \end{cases}$

面外弾性挙動（ソリッドのみ）は単軸相当問題として扱われます。ただし、応力の計算は引張と圧縮では異なる可能性があります。圧縮荷重の場合、弾性は非線形になります。(3)
$\begin{matrix} σ_{z z} = E_{3} ε_{z z}^{e} & if & ε_{z z}^{e} \geq 0 \\ σ_{z z} = E_{3 C} (1 - e^{- C_{c} ε_{z z}^{e}}) & if & ε_{z z}^{e} < 0 \end{matrix}$
Xia 2002の定式化では、面内降伏基準（ $f$ ）は次のように定義されます：(4)
$f = {\sum_{I = 1}^{6} χ_{I} (\frac{σ : N_{I}}{σ_{Y}^{I}})}^{2 k} - 1$

ここで、

$χ_{I} = {\begin{matrix} 1 & if & σ : N_{I} > 0 \\ 0 & otherwise \end{matrix}$

$χ_{I}$

切り替えパラメータ。

$σ$

Cauchy応力テンソル。

$N_{I}$

降伏平面の法線方向。

$σ_{Y}^{I}$

降伏応力。

$k$

正の整数。

各方向は、以下に定義する順序に従って特定の荷重方向に関連付けられています：

1

直交異方性方向1の引張。

2

直交異方性方向2の引張。

3

正の面内せん断。

4

直交異方性方向1の圧縮。

5

直交異方性方向2の圧縮。

6

負の面内せん断（正の面内せん断 $σ_{Y}^{6} = σ_{Y}^{3}$ と同じ入力）。

降伏平面の法線方向ベクトルは次のとおりです：

$\begin{array}{l} N_{1} = [\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{1 + ν_{1 p}^{2}}} & - \frac{ν_{1 p}}{\sqrt{1 + ν_{1 p}^{2}}} & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] \\ N_{2} = [\begin{matrix} - \frac{ν_{2 p}}{\sqrt{1 + ν_{2 p}^{2}}} & \frac{1}{\sqrt{1 + ν_{2 p}^{2}}} & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] \\ N_{3} = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}] \\ N_{4} = [\begin{matrix} - \frac{1}{\sqrt{1 + ν_{4 p}^{2}}} & \frac{ν_{4 p}}{\sqrt{1 + ν_{4 p}^{2}}} & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] \\ N_{5} = [\begin{matrix} \frac{ν_{5 p}}{\sqrt{1 + ν_{5 p}^{2}}} & - \frac{1}{\sqrt{1 + ν_{5 p}^{2}}} & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] \\ N_{6} = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 \end{matrix}] \end{array}$

各方向 $I$ は、次の式で表される特定の降伏応力に関連付けられています：

$\begin{matrix} σ_{Y}^{I} = S_{I}^{0} + A_{I}^{0} \tanh (B_{I}^{0} ε_{p}^{f}) + C_{I}^{0} ε_{p}^{f} & \begin{matrix} with & I \in [1, 6] \end{matrix} \end{matrix}$

ここで、 $ε_{p}^{f}$ は面内相当塑性ひずみ（降伏関数 $f$ に関連付けられています）です。

面外降伏関数は $g$ と表され、次のように定義されます：

$g = - σ_{z z} - σ_{Y}^{C}$ ここで、 $σ_{Y}^{C} = A_{σ} + B_{σ} \exp (C_{σ} ε_{p}^{g})$

ここで、 $ε_{p}^{g}$ は面外相当塑性ひずみ（降伏関数 $g$ に関連付けられています）です。

横せん断降伏関数は次のとおりです：(5)
$h = \frac{\sqrt{σ_{y z}^{2} + σ_{z x}^{2}}}{σ_{Y}^{S}} - 1$

ここで、

$σ_{Y}^{S} = τ_{0} + [A_{τ} - \min (0, σ_{z z}) B_{τ}] ε_{p}^{h}$

$ε_{p}^{h}$

面外相当塑性ひずみ（降伏関数 $h$ に関連付けられています）。

表形式の降伏応力オプションが選択されている場合（Itab = 1）、各降伏応力は、複数の塑性ひずみ速度で塑性ひずみに応じた応力変化を定義するテーブル（TAB_YLDi）に関連付けられています。各テーブルのX方向とY方向に2つのスケールファクターを定義することもできます。この場合、硬化パラメータ $S 0 i$ 、 $A 0 i$ 、 $B 0 i$ 、 $C 0 i$ 、 $A_{σ}$ 、 $B_{σ}$ 、 $C_{σ}$ 、 $τ_{0}$ 、 $A_{τ}$ 、 $B_{τ}$ は無視され、降伏応力は次のようになります：

$\begin{array}{l} \begin{matrix} σ_{Y}^{I} = f_{Y}^{t a b_Y L D I} (ε_{p}^{f}, {\dot{ε}}_{p}^{f}) & I \in [1, 6] \end{matrix} \\ σ_{Y}^{C} = f_{Y}^{t a b_Y L D C} (ε_{p}^{g}, {\dot{ε}}_{p}^{g}) \\ σ_{Y}^{S} = f_{Y}^{t a b_Y L D S} (ε_{p}^{h}, {\dot{ε}}_{p}^{h}) \end{array}$

出力フィールドでは、相当“全体”塑性ひずみは次のように計算されます：(6)
$ε_{p} = \sqrt{{(ε_{p}^{f})}^{2} + {(ε_{p}^{g})}^{2} + {(ε_{p}^{h})}^{2}}$

/MAT/LAW112（PAPERまたはXIA）

フォーマット

定義

例（紙）

例（表形式）

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